Решить уравнение и найти корень уравнения в чем разница между
Корень уравнения — определение в математике, формулы нахождения
Часто в математических задачах нужно быстро найти корень уравнения. Однако при несоблюдении общих правил решение может быть неверным. Для каждого вида уравнения существуют определенные методы нахождения корня или корней. Важно сначала идентифицировать тип уравнения, а затем его решать.
Общие сведения
Уравнение — это равенство вида F (x1, x2. xn) = G (x1, x2. xn), в котором есть переменные. Определение можно сформулировать следующим образом: уравнением называется равенство, в котором присутствуют неизвестные величины. Решить его — значит найти корни (корень) или доказать, что их нет.
Корень — значение, при подстановке которого равенство принимает истинное значение. Например, корнем уравнения (2х = 4) является 2.
Решением уравнения называется задача по нахождению всех его корней или доказательство их отсутствия. В некоторых случаях условием задачи могут быть наложены ограничения (только целые числа, дробные, комплексные и так далее).
Равносильные функции с неизвестными
В математике существует понятие равносильности или эквивалентности уравнений. Оно означает, что корни заданных равенств совпадают. Кроме того, они считаются эквивалентными, когда не имеют корней. Эквивалентность имеет:
Последний прием используется при решении квадратных, кубических и биквадратных уравнений некоторых типов. Метод позволяет упростить поиск неизвестных величин. Например, x 2 — 2x = 0 является квадратным уравнением с параметром С = 0.
Можно найти его дискриминант и вычислить корни. Но существует более простой способ — использование третьего свойства эквивалентности. Следует просто вынести общий множитель за скобки: х * (х-2) = 0. Уравнение «распадается» на два простых: х = 0 и х — 2 = 0. Решаются они очень просто: х1 = 0 и х2 = 2.
Информация о свойствах
Выражения, входящие в состав уравнения, не должны изменять корни, а также приводить к обнаружению посторонних решений. Допустимые преобразования:
При выполнении некоторых операций, приводящих к потере переменных значений, могут возникнуть посторонние корни. В этом случае придется проверять все значения, подставляя их в исходное выражение. Рекомендуется избегать операций, которые приводят к сокращению неизвестных. Это приводит к неверным решениям и образованию дополнительных корней.
Классификация уравнений
Для решения каждого уравнения есть свои правила и алгоритмы. Различают следующие виды уравнений: алгебраические, с параметрами, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие.
Некоторые виды позволяют записывать значение корня в виде функции или функции с параметром. Для решения применяются специальные аналитические функции, которые могут предоставить сведения о вычислении корней, а также предварительно определить их количество и зависимость от значения параметра. Однако аналитические решения можно применять только для алгебраического типа (не выше 4 степени).
Для трансцендентных уравнений количество аналитических решений ограничено, поскольку не все тригонометрические функции имеют значения, равные нулю. Если невозможно найти аналитическое решение, то применяются вычислительные методы. Они позволяют сузить интервал, в котором находится корень. Следовательно, такое решение не будет точным.
Алгебраический тип
Уравнение вида P (x1, x2. xn) = 0, в котором многочлен представлен неизвестными аргументами, называется алгебраическим. Оно может содержать одно или несколько неизвестных, иметь степень.
Алгебраические уравнения могут быть нескольких типов: линейными, квадратными, кубическими, биквадратными (4 степень). Кроме того, линейные могут объединяться в системы. Решить систему уравнений — значит найти общие корни всех выражений, которые в нее входят.
Линейные и квадратные
Линейным называется уравнение, степень которого соответствует единице. Его можно записать в двух формах — общей и канонической. В первом случае оно имеет следующий вид: a1 * x1 + a2 * x2 + an * xn + b = 0. В последнем случае нужно перенести число b в правую часть: a1 * x1 + a2 * x2 + an * xn = b. Пример: 3х — 2 = 25.
Более сложным типом считается квадратное уравнение, то есть выражение типа А * х 2 + В * x + С = 0 (А не равно 0). Они бывают полными (А, В, С не равны 0) и неполными (какой-нибудь коэффициент равен 0, кроме А). Его можно решить автоматизированным и ручным методами.
Можно воспользоваться специальным программным обеспечением или интернет-ресурсом, который ищет корни квадратного уравнения. Необходимо вписать в специальные поля значения А, В и С. Программа вычислит все за секунду и выдаст результат. Во втором случае нужно применить формулу. Корни квадратного уравнения вычисляются при нахождении дискриминанта и подстановке значений А и В в выражения. Чтобы найти их, следует действовать по алгоритму:
Многочлен с неизвестными вида A * х 3 + B * x 2 + C * x + D = 0 называется кубическим уравнением. При этом А не может быть равно 0. Для решения применяется кубическая парабола.
Равенство можно разделить на А и выполнить замену такого вида: x = y — (b / (3 * A)). Исходное выражение примет такой вид: y 3 + p * y + q = 0. Коэффициенты p и q вычисляются по следующим формулам: q = [2 * B 3 — 9 * A * B * C + 27 * (A 2 ) * D] / (27 * A 3 ) и p = [(3 * A * C — B 2 ) / (3 * A 2 )].
При решении биквадратных многочленов с неизвестными необходимо рассматривать каждый случай индивидуально. Все они решаются аналитическим способом с помощью замены переменной. Главной задачей является понижение степени.
С параметрами и трансцендентные
В дисциплинах с физико-математическим уклоном можно встретить уравнения с параметрами, от которых зависит их вид. Они могут быть линейными и нелинейными. Для их решения надо найти все системы значений параметров, при которых имеются корни.
Пример — a * x + 1 = 4. Параметр «а» может быть дробью, действительным или натуральным числом, а также состоять из суммы, произведения или разности некоторых переменных. Допустимые значения оговариваются условием задачи. Их называют ограничениями.
Трансцендентные уравнения содержат показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Они не являются алгебраическими. Пример — cos (x) = x и lg (x) = x — 5. Их корни находятся по различным алгоритмам, которые зависят от общего вида. Допускается при решении использование метода замены переменных для упрощения вида.
Функциональные и дифференциальные
Уравнения, которые выражают связь между значениями в нескольких точках, называются функциональными. Этот термин применяется для всех видов, которые невозможно свести к алгебраическому типу. Корнем является функция. Например, корнем выражения F (s) = 2^(s) * ПИ^(s-1) * sin (ПИ * s / 2) * Г (1-s) * f (1-s) является дзета-функция Римана.
Дифференциальное уравнение содержит какую-либо дифференциальную функцию с неизвестным или неизвестными. Все дифуравнения делятся на два типа: обыкновенные и в частных производных. В первый тип входят функции от одного аргумента, во вторую — функции, зависящие от многих аргументов. Для нахождения корней следует найти функцию, удовлетворяющую условию и имеющую на интервале производные.
Примеры решения
На ЕГЭ могут быть различные задания по математике. Среди них могут быть линейные и квадратные уравнения. Например, дано выражение вида: 3 (х-9) + 2х (х-3)= 2 (х-2)(х+2). Нужно найти значение переменной. Алгоритм следующий:
Нет смысла находить точки пересечения двух парабол (x 2 — 3x + 2 = 0 и y 2 — 5y + 6 = 0) с осями координат. Для получения быстрого результата достаточно воспользоваться теоремой Виета. Точки пересечения вычисляются следующим образом: x1 = 1, x2 = 2, y1 = 2 и y2 = 3.
Чтобы найти точки пересечения параболы (3x 2 — 10x + 5 = 0) с осями декартовой системы координат, следует решить квадратное уравнение:
Парабола пересекает ось ОХ в точках x1 = (5 — sqrt (10)) / 3 и x2 = (5 + sqrt (10)) / 3. Выражения можно не вычислять, поскольку получатся приближенные значения.
Таким образом, для нахождения корней уравнения необходимо сначала его идентифицировать, привести к упрощенному виду, понизить степень (при необходимости), а затем применить какой-либо из алгоритмов.
Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?
Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.
Что такое уравнение? Смысл и понятия.
Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.
Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.
Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.
Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.
Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.
Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3
В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.
Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.
Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.
Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.
Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.
Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7
Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.
Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.
Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.
x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.
Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.
Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:
Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16
Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.
Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5
Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9
Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.
Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.
Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.
Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.
Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.
5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4
Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.
Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.
Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.
7=7 получено верное равенство.
Ответ: корень уравнения равен x=21.
Следующий пример:
Найдите корни уравнения
Далее делим все уравнение на 3.
Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.
Как решать уравнения? Алгоритм действий.
Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:
Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.
Уравнение и его корни: определения, примеры
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
Уравнение и его корни: определения, примеры
Навигация по странице.
Что такое уравнение?
Целенаправленное знакомство с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе. В это время дается следующее определение уравнения:
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.
Таким образом, уравнение определяется с позиции формы записи. Иными словами, равенство является уравнением, когда подчиняется указанным правилам записи – содержит букву, значение которой нужно найти.
Дальше после изучения натуральных чисел происходит знакомство с целыми, рациональными, действительными числами, изучаются новые математические объекты: степени, корни, логарифмы и т.д., при этом появляются все новые и новые виды уравнений, содержащие эти вещи. Их примеры можно посмотреть в статье основные виды уравнений, изучающиеся в школе.
В 7 классе наряду с буквами, под которыми подразумевают некоторые конкретные числа, начинают рассматривать буквы, которые могут принимать различные значения, их называют переменными (смотрите статью числовые, буквенные выражения и выражения с переменными). При этом в определение уравнения внедряется слово «переменная», и оно становится таким:
Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
На уроках алгебры в том же 7 классе происходит встреча с уравнениями, содержащими в своей записи не одну, а две различные неизвестные переменные. Их называют уравнениями с двумя переменными. В дальнейшем допускают присутствие в записи уравнений трех и большего количества переменных.
Уравнения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными – это уравнения, содержащие в своей записи одну, две, три, … неизвестные переменные соответственно.
Что такое корень уравнения?
С определением уравнения непосредственно связано определение корня этого уравнения. Проведем некоторые рассуждения, которые нам помогут понять, что такое корень уравнения.
На практике в подавляющем большинстве случаев интерес представляют такие значения переменной, подстановка которых в уравнение дает верное равенство, эти значения называют корнями или решениями данного уравнения.
Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Отметим, что корень уравнения с одной переменной также называют решением уравнения. Другими словами, решение уравнения и корень уравнения – это одно и то же.
На этот момент возникает ряд естественных вопросов: «Любое ли уравнение имеет корень, и сколько корней имеет заданное уравнение»? Ответим на них.
Для уравнений с двумя, тремя и большим количеством переменных, как правило, не применяют термин «корень уравнения», в этих случаях говорят «решение уравнения». Что же называют решением уравнений с несколькими переменными? Дадим соответствующее определение.
Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными называют пару, тройку и т.д. значений переменных, обращающую это уравнение в верное числовое равенство.
Уравнения с несколькими переменными, как и уравнения с одной переменной, могут не иметь корней, могут иметь конечное число корней, а могут иметь и бесконечно много корней.
Наибольшее внимание в школьном курсе математики, алгебры и начал анализа уделяется нахождению корней уравнений с одной переменной. Правила этого процесса мы очень подробно разберем в статье решение уравнений.
Найти корень уравнения? Это просто!
В математике встречаются разнообразные уравнения. Их всегда нужно решать, то есть искать все числа, которые сделают его верным равенством. Пути поиска решений определяются первоначальным видом уравнения. От него же будет зависеть и количество верных значений переменной, которые обозначаются, как корень уравнения. Это число может варьироваться от нуля до бесконечности.
Что подразумевается под уравнением и его корнем?
Из названия понятно, что оно приравнивает две величины, которые могут быть представлены числовыми или буквенными выражениями. Кроме того, они содержат еще неизвестные величины. Самое простое уравнение имеет только одну.
Видов уравнений большое количество, но понятие корня для них всегда одно и то же. Корень уравнения — это такое значение неизвестного числа, при котором уравнение принимает становится верным равенством. Бывают ситуации, когда таких чисел несколько, тогда неизвестная называется переменной.
В алгебре при решении уравнений можно прийти к такой ситуации, что корней не будет совсем. Тогда говорят о том, что оно неразрешимо. А в ответе такого уравнения нужно записать, что решений нет.
Но иногда бывает и противоположное. То есть в процессе многочисленных преобразований появляются посторонние корни. Они не дадут верного равенства при подстановке. Поэтому числа всегда нужно проверять, чтобы избежать ситуации с лишними корнями в ответе. Иначе уравнение не будет считаться решенным.
О линейном уравнении
Оно всегда может быть преобразовано в запись следующего вида: а * х + в = 0. В нем «а» всегда не равно нулю. Чтобы понять сколько корней имеет уравнение, его потребуется решить в общем виде.
Из него ясно, что ответом будет одно число. То есть всего один корень.
Квадратное уравнение
Его общий вид: а * х 2 + в * х + с = 0. Здесь коэффициенты являются любыми числами, кроме первого, «а», которое не может быть равным нулю. Ведь тогда оно автоматически превратится в линейное. Ответ на вопрос, сколько корней имеет уравнение, уже не будет столь однозначным, как это было в предыдущем случае.
Формулы, которые используют для нахождения корней квадратного уравнения, и содержащие дискриминант
В общем случае, когда «Д» положительное число, не равное нулю, нужно использовать такую формулу:
При равенстве «Д» нулю корень уравнения — это единственное число. Просто потому что квадратный корень из нуля равен нулю. А значит, прибавлять и вычитать нужно будет ноль. От этого число не изменится. Поэтому формулу корня уравнения можно записать без упоминания «Д»:
х = (-в) / (2 * а).
При отрицательном значении дискриминанта извлечь из него квадратный корень не представляется возможным. Поэтому корней у такого уравнения не будет.
Замечание. Это верно для курса школьной программы, в которой не изучаются комплексные числа. Когда они вводятся, то получается, что и в этой ситуации ответов будет два.
Формулы для расчета корней квадратного уравнения, не использующие дискриминант
Речь идет о теореме Виета. Она действительна в случае, когда квадратное уравнение записывается в несколько другом виде:
х 2 + в * х + с = 0.
Тогда формула корней квадратного уравнения сводится к тому, чтобы выполнить решение двух линейных:
Оно решается за счет того, что из первого выводится выражение для одного из корней. И это значение нужно подставить во второе. Так будет найден второй корень, а потом первый.
К этому варианту всегда можно прийти от общего вида квадратного уравнения.
Достаточно только разделить все коэффициенты на «а».
Как быть, если нужно узнать наименьшее значение корня?
Решать уравнение и находить все возможные числа, которые подойдут для ответа. А потом выбрать самое малое. Это и будет наименьший корень уравнения.
Чаще всего такие вопросы встречаются в заданиях, которые имеют степень большую, чем 2, или содержат тригонометрические функции. Примером, когда нужно найти наименьший корень, может служить такое равенство:
Чтобы найти каждое значение, которое можно назвать «корень уравнения», это равенство нужно преобразовать. Первое действие: сгруппировать его члены попарно: первый со вторым и так далее. Потом из каждой пары вынести общий множитель.
Другие будут получены из уравнения, образованного второй скобкой, приравненной к нулю. Оно биквадратное. Для его решения нужно ввести обозначение: х 2 = у. Тогда уравнение существенно преобразится и примет привычный вид квадратного уравнения.
Его дискриминант равен Д = 1. Он больше нуля, значит корней будет два. Первый корень оказывается равным 1, второй будет 0,5. Но это значения для «у».
В качестве заключения
Напоминание: все уравнения нужно проверять на то, подходит ли корень. Может быть, он посторонний? Стоит выполнить проверку предложенного примера.
Если подставить в изначально данное уравнение вместо «х» единицу, то получается, что 0 = 0. Этот корень верный.
Этот пример не дал посторонних корней. Такое бывает не всегда. Вполне могло оказаться, что самое маленькое значение не подходило бы при проверке. Тогда пришлось бы выбирать из оставшихся.
Вывод: надо помнить о проверке и внимательно подходить к решению.