Про натуральные числа а и б известно что 15а 14б

Про натуральные числа а и б известно что 15а 14б

Задача 1: Существует ли такая тройка натуральных чисел, что любые два из них имеют общий делитель, больший единицы, но общим делителем для всех трёх чисел является только 1?

Задача 2: Можно ли монетами в 14 и 35 шиллингов заплатить без сдачи сумму в 1999 шиллингов?

Решение: Нельзя, так как 1999 не кратно НОД(14,35).

Задача 3: В банк можно положить за один раз 120 руб. или снять 300 руб. У кого-то есть 1000 руб. Какую наибольшую сумму кто-то может положить в банк за несколько раз?

Решение: 960. Оценка получается из делимости. Снять и положить можно только числа, делящиеся на 60 (120 = 60 × 2, 300 = 60 × 5), максимальное число, меньшее 1000 и делящееся на 60 – это 960. Пример: кладём 3 раза по 300, снимаем 2 раза по 120 и кладём 300.

Решение: НОД – это общая часть разложений.

Решение: НОК – это объединение разложений.

Задача 6: Про натуральные числа a и b известно, что 15a = 14b и что НОД (a,b) = 13. Найдите a и b.

Задача 7: Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство

Задача 8: Докажите, что если a и b – натуральные числа (a > b), то НОД (a,b) = НОД (a – b,b)

Задача 9: Может ли наименьшее общее кратное двух натуральных чисел равняться их сумме?

Решение: Пусть такие числа x и y существуют. делится на x и на y. Тогда x + y делится на x и на y, значит, x делится на y и y делится на x, поэтому x = y. Но тогда , что противоречит предположению.

Задача 10: Может ли наименьшее общее кратное трёх чисел равняться их сумме?

Решение: Да, например, 6 = 1 + 2 + 3.

Задача 11: НОД двух натуральных чисел в восемь раз меньше, чем их НОК. Докажите, что одно из этих чисел делится на другое.

Задача 12: Даны 6 натуральных чисел. Могут ли среди их попарных НОДов встречаться все натуральные числа от 1 до 15?

Решение: Нет. Так как какие-то числа имеют НОДы, равные 7 и 14, то есть не менее трёх чисел, кратных 7. Но тогда существует третий НОД, кратный 7, а среди чисел от 1 до 15 такого нет. (Аналогичное рассуждение проходит по делимости на 2).

Задача 13: Разность двух нечётных чисел является степенью двойки. Докажите, что они взаимно просты.

Решение: НОД (a,b) = НОД (a,a – b) = НОД (a,2 k ).

Задача 14: Известно, что (n – 1)! + 1 делится на n. Докажите, что число n – простое.

Решение: Если n – составное, то (n – 1)! делится на n.

Задача 15: В результате некоторой перестановки цифр число уменьшилось в три раза. Докажите, что исходное число делилось на 27.

Задача 16: Найдите все такие натуральные a, что число а) ; б) ; в) – тоже целое.

Источник

Про натуральные числа а и б известно что 15а 14б

Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 417. Какое число было загадано?

Числа А, В и С могут быть равны 5, 6 или 7.

Пусть загадали натуральное число Х, тогда Х · А + В – С = 417 или Х · А = 417 + (C – B). Рассмотрим различные случаи.

1) С – В = 0 (7 – 7 = 0, 6 – 6 = 0 или 5 – 5 = 0), тогда Х · А = 417. Число 417 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.

2) С – В = 1 (7 – 6 = 1 или 6 – 5 = 1), тогда Х · А = 418. Число 418 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.

3) С – В = –1 (6 – 7 = –1 или 5 – 6 = –1), тогда Х · А = 416. Число 416 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.

4) С – В = 2 (7 – 5 = 2), тогда Х · А = 419. Число 419 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.

5) С – В = –2 (5 – 7 = –2), тогда Х·А = 415. Число 415 делится нацело на A = 5, значит, Х = 83.

Заметим, что числа A, B, C не обязательно должны быть различны. В данном примере A = C = 5, B = 7.

Аналоги к заданию № 512428: 512448 512468 512682 Все

Источник

Про натуральные числа а и б известно что 15а 14б

Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 165. Какое число было загадано?

Числа А, В и С могут быть равны 5, 6 или 7.

Пусть загадали натуральное число Х, тогда Х · А + В – С = 165 или Х · А = 165 + (C – B). Рассмотрим различные случаи.

1) С – В = 0 (7 – 7 = 0, 6 – 6 = 0 или 5 – 5 = 0), тогда Х · А = 165. Число 165 делится нацело на A = 5, значит, Х = 33.

2) С – В = 1 (7 – 6 = 1 или 6 – 5 = 1), тогда Х · А = 166. Число 166 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.

3) С – В = –1 (6 – 7 = –1 или 5 – 6 = –1), тогда Х · А = 164. Число 164 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.

4) С – В = 2 (7 – 5 = 2), тогда Х · А = 167. Число 167 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.

5) С – В = –2 (5 – 7 = –2), тогда Х·А = 163. Число 163 не делится нацело на A = 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.

Аналоги к заданию № 512428: 512448 512468 512682 Все

Источник

Про натуральные числа а и б известно что 15а 14б

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства учитывая, что и числа и имеют разную чётность, находим чего не может быть.

Во втором случае из неравенства учитывая, что находим откуда получаем:

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.

Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.

Источник

Про натуральные числа а и б известно что 15а 14б

Найти все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения

есть два различных корня с равными абсолютными величинами.

Пусть у заданного уравнения имеются корни m и −m, причем

Тогда будем иметь равенства:

Последнее равенство мы вправе переписать так:

Вычитая равенство (***) из равенства (*), получим:

Рассмотрим равенство

Покажем, что в последнем равенстве Действительно, если то тогда как Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства на Получим: Это равенство имеет место при

Рассмотрим левую часть последнего равенства как функцию f(m), правую часть — как функцию g(m).

На есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= возможно лишь при единственном значении m, т. е. при Однако такое значение m условию задачи не удовлетворяет. Отсюда вывод: в контексте предложенной задачи

Но тогда непременно должно выполняться равенство Коли это так, то равенство (***) примет вид: что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: и

Заметим, что среди корней исходного уравнения есть такая пара значений m, например, и при которых условие выполняется как при так и при

Теперь нам осталось найти такие значения параметров a и b, которые удовлетворяют системе уравнений

то

(последнее не имеет смысла).

Полученным значениям а будут соответствовать значения и в соответствии с равенством

а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B₁, B, C₁ составляет третью часть объема призмы.

б) Найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁, если известно, что AB = 2, AA₁ = 4.

а) Пусть тогда У пирамиды основанием служит высотой — высота треугольника проведенная к стороне Пусть K — основание высоты.

Ясно, что т. е. что и требовалось доказать.

б) Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты нужных точек:

Другое решение пункта а).

так как но

Ответ: б)

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства учитывая, что и числа и имеют разную чётность, находим чего не может быть.

Во втором случае из неравенства учитывая, что находим откуда получаем:

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.

Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства находим и откуда получаем: и

Второй случай не реализуется, поскольку а

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

Ответ: а) a = 6, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 298.

Аналоги к заданию № 512887: 512893 Все

Даны натуральные числа и такие, что Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.

а) Найдите наименьшую сумму такую, что она является квадратом натурального числа.

б) Найдите наибольшее число c, если а сумма имеет наименьшее значение.

в) Найдите наименьшее число b, если числа c, b и a в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию с разностью n.

г) Известно, что числа c, b и a в указанном порядке составляют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью n. Найдите наименьшее n, при котором число c будет наименьшим, и все члены арифметической прогрессии будут являться квадратами натуральных чисел.

а) По условию, где k — натуральное число. Значит, Таким образом, сумма является точным квадратом и делится на Поэтому минимальное возможное значение

б) Из пункта а) получаем, что Если сумма минимальна, то и сумма минимальна, значит, По условию, поэтому Искомое наибольшее значение c = 3.

в) По условию, а из того, что — арифметическая прогрессия, следует равенство Значит, Число b должно быть минимально, поэтому

г) Пусть тогда Из предыдущего пункта следует, что q кратно 13. Если разность прогрессии n наименьшая и её первый член c при этом минимален, то и второй член прогрессии b минимален. Значит, он равен 169, и тогда Подбором получаем, что единственная пара чисел такая, что и удовлетворяющая последнему равенству, это пара Тогда получаем, что

Ответ: а) 1521; б) 3; в) 13; г) 120.

Задание г) имеет два различных прочтения: найти наименьшее возможное n, при котором будут выполнены остальные требования условия, или найти наименьшее возможное c, при котором будут выполнены остальные требования. Выше приведено решение первой из этих задач: из решения следует, что наименьшее возможное n равно 120, при этом числа, составляющие прогрессию, суть 49, 169 и 289. Решение второй задачи — поиска наименьшего возможного с — очевидным образом сводится к рассмотрению наименьшего натурального числа с = 1 и отысканию для этого с наименьшего значения n, обеспечивающего выполнение оставшихся требований. Иными словами, пусть тогда и необходимо найти натуральные решения полученного уравнения, зная, что делится на 13.

Можно показать (указания о том, как это сделать, приведены в статье В. А. Сендерова и А. В. Спивака «Уравнения Пелля» в журнале «Квант» (№ 3, 2002 год), что все решения уравнения даются тривиальным решением и рекуррентными формулами то есть являются множеством упорядоченных пар

Источник