Треугольник abc равносторонний известно что высота ah равна 6 найдите медиану bm
Треугольник абс равносторонний. высота ан равна 6. найти медиану ам и биссектрису ск
Ответы 2
Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть
c2 = a2 + b2,
где c — гипотенуза треугольника.
Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения:
a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,
где c — гипотенуза треугольника.
Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства:
h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.
Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).
Теорема 6 (теорема синусов). Для произвольного треугольника (рис. 4) справедливы соотношения
Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).
Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.
Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).
Последняя формула называется формулой Герона.
Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).

Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть
b : c = x : y.
Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)
Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).
Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).
Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы). 
Ответ или решение 2
Решение
Рассмотрим произвольную точку M внутри треугольника ABC. Проведем перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 из этой точки к сторонам треугольника BC, CA и AB соответственно.
Поскольку расстояние от точки до прямой определяется по перпендикуляру, опущенному из этой точки к прямой, то длины высот MA1, MB1 и MC1 как раз и будут расстояниями от точки M до сторон треугольника ABC (см. рис. http://bit.ly/2zuHhXB).
Площадь треугольника ABC
Рассмотрим треугольники ABM, BCM, CAM и вычислим их площади. Так как перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 являются высотами для этих треугольников, то для их площадей получим выражения:
Поскольку треугольник ABC разделен на три треугольника (ABM, BCM и CAM), то его площадь равна сумме площадей этих треугольников:
S(ABC) = S(ABM) + S(BCM) + S(CAM).
Подставив в это уравнение значения для S(ABM), S(BCM), S(CAM) и выполнив простые преобразования, получим:
S(ABC) = 1/2*AB*MC1 + 1/2*BC*MA1 + 1/2*CA*MB1;
S(ABC) = 1/2*a*MC1 + 1/2*a*MA1 + 1/2*a*MB1;
S(ABC) = 1/2*a (MC1 + MA1 + MB1) (1).
Составление и решение уравнения
Но с другой стороны, площадь треугольника ABC равна:
Сравнивая равенства (1) и (2), получим:
1/2*a*(MC1 + MA1 + MB1) = 1/2*a*AH.
MC1 + MA1 + MB1 = AH = 6(см).
M — произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC.
Отрезки МА, МВ, МС разбивают треугольник АВС на три треугольника.
Расстояния от точки М до сторон АВ, ВС, АС: MQ, MO, MP.
Для треугольников АМС, АМВ, ВСМ эти отрезки будут высотами.
Площадь треугольника ABC как сумма площадей трех треугольников с равными основаниями a:
S = (АВ * МО) / 2 + (BC * MP) / 2 + (AC * MQ) =
= (a * MO) / 2 + (a * MP) / 2 +(a * MQ) / 2 =
Треугольник abc равносторонний известно что высота ah равна 6 найдите медиану bm
. Найдите длину боковой стороны треугольника ABC.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный. Тангенс в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Имеем:
По теореме Пифагора
Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный. Тангенс в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к противолежащему. Имеем:
По теореме Пифагора
Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный. Тангенс в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к противолежащему. Имеем:
По теореме Пифагора
Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный. Тангенс в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к противолежащему. Имеем:
По теореме Пифагора
В треугольнике ABC 
Найдите AC.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В треугольнике 
Найдите 
Проведем высоту СН. Треугольник равнобедренный, значит, высота 
делит основание 
пополам.
Треугольник abc равносторонний известно что высота ah равна 6 найдите медиану bm
Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.
а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан 
а также 
получим:
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то 
Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и 
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем 
откуда 
Ответ: 
Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABK.
а) Заметим, что 
поскольку тогда 
или 
как перпендикуляры к одной прямой. Значит, 
Обозначим основания высот треугольника за 
Тогда точки K, B, A, A1, B1 лежат на окружности с диаметром (из-за прямых углов). заметим, что 
— основание перпендикуляра из 
на 
Перепишем требуемое утверждение:
Это верно из-за подобия треугольников 
и 
по двум углам: действительно, 
б) Из пункта а) следует, что 
Ответ: 
Урок-лекция «Теорема Менелая в задачах»
Урок-лекция «Теорема Менелая в задачах».
Данная теорема в школьном курсе математики относится к категории тех знаний, которые дают далеко не во всех школах, но для успешной сдачи ЕГЭ знать её совершенно необходимо, так как эта теорема применяется для решения геометрических задач №14 и №16. Также эта теорема часто используется для решения олимпиадных задач.
На ЕГЭ и различных олимпиадах часто встречаются задачи на нахождение отношений длин отрезков, площадей и объёмов. При решении таких задач часто удобно использовать теорему Менелая.
Начнём с задачи №1. Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, причём АР:РС=1:3. Найти, в каком отношении медиана АМ делит отрезок ВР.
Ответ: 1:4. Решение несложное, но нужно догадаться сделать дополнительное построение, а это искусственный приём. Хотелось бы решить задачу, следуя определённому алгоритму. Этот алгоритм и даёт теорема Менелая. Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры).
Т
еорема Менелая.
(*)
Из подобия соответствующих треугольников получим:
.
Замечание. Справедлива и обратная теорема. Как она формулируется? Докажите её.
Соотношение (*) легко восстановить в памяти, если понять закономерность в записи отношений в нём. Выбираем треугольник и прямую, пересекающую две его стороны. Начинаем обход треугольника из какой-либо его вершины так, чтобы вершины чередовались с точками на сторонах.
Что будет, если прямая а пройдёт через вершину треугольника? Ответ: ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.
Что будет, если выбрать другую вершину для старта или пойти в другую сторону? Ответ: будет то же самое. Просто изменится последовательность дробей.
Решение 2 задачи №1. По теореме Менелая для РВС и прямой АМ имеем:
.
Дополнительный вопрос: чему равно отношение площадей треугольников АОР и МОВ?
При решении задач на отношение площадей часто полезна формула для площади треугольника 
.
. Нужно найти отношение АО:ОМ. В этом снова поможет теорема Менелая, для D АМС и прямой ВР, имеем: 
. Тогда 
.
У
пражнение. Начертите треугольник АВС и прямую, пересекающую две его стороны. Задайте два каких-либо отношения отрезков на сторонах и найдите третье отношение отрезков внутри треугольника. Каково отношение площадей полученных треугольников?
Задача №2. (Гор. Ол-да 2012/13, 9 кл). Точка K лежит на стороне А B треугольника АВС. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, причём АР=АК. Найти отношение ВК:РМ.
Решение. По теореме Менелая для АВМ и прямой СК имеем:
.
Задача №3. В треугольнике ABC проведена медиана BK, точка Р находится на отрезке ВС. О 
трезки ВК и АР пересекаются в точке М, причём ВР = МР, длина ВС = 1. Найти длину отрезка АМ.
По теореме Менелая для треугольника АСР и прямой ВК имеем :
. По условию АК = КС и ВР = РМ, поэтому СВ = МА = 1.
Рассмотрим задачи ОГЭ, ЕГЭ и олимпиад, в которых теорема Менелая используется совместно с другими геометрическими теоремами: подобием, теоремой Фалеса, свойством биссектрисы. Вспомним их.
З 
адача №4. (№8, Математика 6-8, июнь 1995). В треугольнике ABC проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает сторону АВ в точке Р, медиану АМ – в точке Т, а сторону BС в точке К. Найти длину АС, если РТ=3, ТК=5.
Решение. По теореме Менелая для треугольника PKB и прямой AM имеем 
. (*)
З 
адача №5. (№ 26 ОГЭ). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
В Интернете встречается решение такой задачи с помощью дополнительного построения и далее либо подобия, либо нахождения площадей, и только после этого сторон треугольника. Т.е. оба этих способа требуют дополнительного построения. Однако решение такой задачи с помощью свойства биссектрисы и теоремы Менелая не требует никаких дополнительных построений. Оно гораздо проще и рациональнее.
По теореме Менелая для треугольника B Е C и прямой АД имеем 
. Но KE + BK=28, отсюда BK = 21; KE = 7.
По теореме Пифагора для треугольника A К B 
. По теореме Пифагора для треугольника A КЕ 
.
Ответ: AВ = 7√13; ВС=14 13; AC = 21√5.
З 
адача №6. ( № 2.18.2, Гордин, 2016). В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6.
а) Докажите, что BH : CH =1 : 3.
б) Найдите площадь треугольника AMB.
а) По теореме Менелая для треугольника АСН и прямой ВМ имеем 
.
б) По теореме Менелая для треугольника ВСМ и прямой КН имеем 
. Так как ВМ=25, то ВК=10, ВМ=15. По теореме Пифагора ВН=8, тогда СН=24, а ВС=32.
Из КНВ 
. 
. Ответ: 240.
В заключении заметим, что существует и пространственная теорема Менелая. Она связывает отношения отрезков, которые получаются на рёбрах тетраэдра при пересечении его плоскостью, не параллельной ни одной из его граней.
Задачи для самостоятельного решения.
№ 1. В треугольнике А ВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD : DC = 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису (СЕ и AD пересекаются в точке О)?
а) Решить задачу, используя дополнительные построения.
б) Решить задачу с помощью теоремы Менелая. Ответ: 3:1.
№ 3. (МО Екатеринбург, 97/98, областной тур, 8 кл). На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке E так, что AE = BC. Докажите, что BF = FE.