С помощью чего задается положение точки

Положение точки на плоскости и в пространстве

Система координат — способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Координатами точки называется совокупность чисел, которые определяют ее положение в пространстве, на плоскости или на прямой.

Вообще систему координат можно выбрать на любой вкус — так, чтобы было удобно характеризовать положение в пространстве точек, образующих траекторию движения тела. Если эта траектория прямая, то для нее подходит линейная система координат — одна ось ОХ, где 0 — начало отсчета. Для движения точки на плоскости нужны две координатные оси. Их можно расположить под любым углом друг к другу. Если этот угол прямой, то мы имеем дело с обычной прямоугольной системой координат. Такие системы называют декартовыми в честь предложившего их французского математика и физика Рене Декарта. Координата точки на оси X называется абсциссой, координата на оси Y — ординатой, а координата на оси Z (если система строится в трехмерном пространстве) — аппликатой. Прямоугольную систему координат легко обобщить для пространства любой размерности, поэтому она широко применяется.

Есть также общая декартова система, которая не является прямоугольной.

Угол между координатными осями может отличаться от 90° — такую систему называют косоугольной. Ее применяют, например, для описания положения атомов в кристаллической решетке.

Для описания положения точек на плоскости может быть применена и двухосная система координат, где одна из осей вращается вокруг начала координат, все время указывая на изучаемую точку плоскости. Такая система координат называется полярной.

Существуют и сферические системы координат, определяющие положение точки на сфере. Например, географические координаты: широта, долгота и высота над определенной уровенной поверхностью (уровнем моря, к примеру).

Небесные координаты

В астрономии положение небесных тел определяется сферическими координатами, например прямым восхождением и склонением. Системы небесных координат отличаются отсчетной поверхностью — фундаментальной плоскостью и началом отсчета. Если это плоскость горизонта, то система называется горизонтальной, если экватора, то экваториальной, если эклиптики, то галактической.

Философ в печке

Рене Декарт, в честь которого названа система координат, в молодости служил в армии. Однажды в заброшенной деревне он, спасаясь от холода, забрался в печь и просидел там целый день. Когда вечером математик выбрался наружу, его философия, которую он позже описывал во многих работах, была уже готова. Декарт утверждал, что именно в печи ему пришли в голову знаменитые слова: «Мыслю, следовательно, существую».

Источник

Кинематика. Задание положения точки.

Положение точки в пространстве можно задать двумя способами: координатным и векторным.

При задании движения координатным способом с телом отсчета связывают какую-либо систему координат, например, декартовую. Движение точки М будет задано в том случае, если ее координаты будут известны, как функции времени:

Эти зависимости называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Они выражают текущие координаты движущейся точки в виде функций времени. Если точка движется, оставаясь все время в одной плоскости, можно ограничиться двумя уравнениями движения: x = x(t), y = y(t).

Допустим, М – движущаяся точка относительно тела отсчета А. В теле А в качестве точки отсчета выберем произвольную точку О и построим вектор Этот вектор называется радиус-вектором точки М.

Радиус-вектор – это вектор, соединяющий начало отсчета с положением точки в любой момент времени.

Когда точка М движется, радиус-вектор непрерывно изменяется во времени, поэтому существует некоторая вектор-функция времени Зная эту функцию, для каждого времени t можно построить вектор и тем самым найти положение движущейся точки в данный момент. Функция называется векторным законом (векторным уравнением) движения точки М.

Точка задается радиус-вектором, если известны его длина (модуль) и направление в пространстве, другими словами – значения его проекций r_x, r_y, r_z на оси координат OX, OY и OZ, или углы между радиус-вектором и осями координат. При рассмотрении движения на плоскости:

Здесь за мы принимаем модуль радиус-вектора , а r_x и r_y являются его проекциями на оси координат, все три величины скалярны, x и y – координаты точки А.

Из этих уравнений видно, что между координатным и векторным способами задания положения точки существует связь.

Источник

Положение и движение точки в пространстве

Урок 2. Физика 10 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Положение и движение точки в пространстве»

Мы продолжаем тему классической механики Ньютона. Механика делится на два основных раздела: кинематика и динамика. Мы начнём с изучения кинематики.

Кинематика изучает движение тел, способы описания этого движения, а также, его характеристики.

Описать движение человека или полет бабочки математически — это крайне сложная задача. Но есть задачи и проще: например, описать движение материальной точки. Добавим теперь, что эта точка двигается равномерно и прямолинейно. Тогда, описать её движение не так уж сложно. Именно с таких идеализированных моделей и следует начать изучение кинематики. Ведь если мы сможем описать движение каждой точки тела, то мы также сможем описать движение самого тела.

В первую очередь, нужно создать систему отсчёта. Система отсчёта состоит из тела отсчёта, системы координат и счётчика времени.

Тело отсчёта — это физическое тело, относительно которого задаётся положение данного тела или точки.

Понять это довольно просто. На рисунке изображено дерево.

На каком расстоянии находится это дерево? На каком расстоянии от чего? — спросите вы. Конечно, нам нужно выбрать точку отсчета. Это может быть белый треугольник на камне, а может быть флажок на за́мке. В зависимости от этого выбора, ответ на вопрос будет различным. Необходимо выбрать какую-то точку за точку отсчёта, то есть за ноль. Скажем, мы можем обозначить за ноль центр картинки.

Далее, мы используем декартовы координаты, чтобы описать положения тел. Выбираем единичный отрезок и, исходя из этого определяем положения тел. Это положение задаётся с помощью координат. Например, точка А имеет координаты четыре и минус три, а точка Б — три и два. Также, можно задать положение тела с помощью радиус-вектора — это вектор, который соединяет точку и начало координат.

Радиус-вектор обозначается латинской буквой r и, как и любой другой вектор, имеет длину и направление. Длиной радиус-вектора будет является геометрическая сумма координат точки. Иными словами, мы вычисляем длину радиус-вектора, используя теорему Пифагора. То есть, длина радиус-вектора, описывающего положение точки B будет равна .

Модуль и направление любого вектора находят с помощью проекций этого вектора на оси координат.

Что же такое проекция? Давайте рассмотрим вектор с начальной точкой А и конечной точкой B, находящийся в системе координат на плоскости.

Из точек А и B опустим перпендикуляры на ось икс. Длина отрезка А₁ B₁ — это и есть проекция вектора цэ на ось x. Точно таким же способом находится проекция вектора на ось y. Как видно из построения: . Аналогично можно найти проекцию на ось y: ..

Проекция вектора на ось — это алгебраическая величина. Её знак можно определить так: если, двигаясь от начальной точки проекции до конечной точки проекции, надо идти в положительном направлении, то проекция положительная, а в противном случае — она отрицательная.

Иначе это можно объяснить так: если вектор составляет острый угол с направлением оси, на которую мы собираемся сделать проекцию, то проекция будет положительной, а если угол между вектором и направлением оси — тупой, то проекция будет отрицательной.

Нетрудно догадаться, что если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось будет равна нулю.

Аналогично, если вектор параллелен оси, то его проекция на эту ось будет равна модулю вектора.

Рассмотрим теперь, как задать положение точки в пространстве, а не на плоскости. Как вы знаете, у есть три пространственных измерения, поэтому, чтобы задать положение точки в пространстве нам нужно три координаты. Сначала мы точно также, как и ранее, находим точку на плоскости, а потом от этой точки откладываем числовое значение координаты z параллельно оси Z.

Положение такой точки точно также можно задать с помощью радиус-вектора. Его модуль также будет находиться с помощью геометрической суммы координат точки.

Примеры решения задач.

Задача 1. В системе координат отметьте точку N (1;3;7), постройте соответствующий радиус-вектор и найдите его длину.

Задача 2. В системе координат отметьте точку N (1;3;7), постройте соответствующий радиус-вектор и найдите его длину.

Задача 3. Постройте проекции вектора на оси x и y и найдите их числовые значения, если , а угол между и осью x составляет 30.

Источник

С помощью чего задается положение точки

Движение. Виды движений. Описание движения. Система отсчета.

Механическим движением тела (точки) называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки.

Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки.

В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью.

Г) Гармоническое колебательное движение. Важным случаем механического движения являются колебания, при которых параметры движения точки (координаты, скорость, ускорение) повторяются через определенные промежутки времени.

1. Векторный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Векторный способ описания движения – это описание изменения радиус-вектора материальной точки в пространстве с течением времени.

Рассмотрим движение точки М в некоторой системе отсчета Oxyz (рис.1). Зададим радиус-вектор точки r — вектор, соединяющий начало координат с этой точкой.

При движении точки M вектор r будет с течением времени изменяться, т.е. будет каким-то образом зависеть от времени. Эта зависимость r = r ( t ) представляет собой закон движения в векторном виде.

В процессе движения конец радиус-вектора будет описывать траекторию, а его изменение – перемещение s точки.

2. Координатный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Координатный способ описания движения – описание изменения во времени координат точки в выбранной системе отсчета.

В декартовой системе координат положение точки определяется тройкой чисел ( x , y , z ) — ее декартовыми координатами.

Чтобы задать закон движения точки, необходимо знать значения ее координат в каждый момент времени. Закон движения в координатном виде в общем случае представляет собой систему трех уравнений: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t )

Между векторным и координатным способом описания движения существует непосредственная связь, а именно: числовые значения проекций радиус-вектора движущейся точки на координатные оси системы с тем же началом отсчета равны координатам точки: r_x = x , r_y = y , r_z = z .

3. Естественный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Естественный способ описания движения – описание движения вдоль траектории. Этим способом пользуются, когда траектория точки заранее известна.

Под системой отсчета понимают тело отсчета, которое условно считается неподвижным, систему координат, связанную с телом отсчета, и часы, также связанные с телом отсчета. В кинематике система отсчета выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи описания движения тела.

Источник

1.1. Кинематика

1.1.5. Способы задания положения точки и описание ее движения

Положение точки в пространстве задается двумя способами:

1) с помощью координат; 2) с помощью радиус-вектора.

Положение точки с помощью координат задается тремя проекциями точки х, у, z на оси декартовой системы координат ОХ, ОУ, ОZ, связанные с телом отсчета (рис. 1.3). Для этого из точки А необходимо опустить перпендикуляры на плоскости УZ (координата х), ХZ (координата у), ХУ (координата z) соответственно. Записывается это так: А (х, у, z). Для конкретного случая, изображенного на рис. 1.3 (х = 6, у = 10, z = 4,5), точка А обозначается A (6; 10; 4,5).

Наоборот, если заданы конкретные значения координат точки в данной системе координат, то для изображения самой точки необходимо отложить значения координат на соответствующие оси (х на ось ОХ и т. д.) и на этих трех взаимно перпендикулярных отрезках построить параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат О и лежащая на диагонали параллелепипеда, и будет искомой точкой А.

Если точка движется в пределах некоторой плоскости, то через выбранные на теле отсчета точки достаточно провести две координатные оси: ОХ и ОУ. Тогда положение точки на плоскости определяют двумя координатами х и у (рис. 1.4).

Если точка движется вдоль прямой, достаточно задать одну координатную ось ОХ и направить ее вдоль линии движения.

Задание положения точки А с помощью радиус-вектора осуществляется соединением точки А с началом координат О (рис. 1.4). Направленный отрезок О А = называется радиус-вектором.

Радиус-вектор — это вектор, соединяющий начало отсчета с положением точки в произвольный момент времени.

Точка задана радиус-вектором, если известны его длина (модуль) и направление в пространстве, т. е. значения его проекций rх, ry, rz на оси координат ОХ, ОУ, OZ, либо углы между радиус-вектором и осями координат. Для случая движения на плоскости (рис. 1.4) имеем:

Здесь r = | — модуль радиус-вектора , х и y — его проекции на оси координат, все три величины — скаляры; х и у — координаты точки А.

Последние уравнения демонстрируют связь между координатным и векторным способами задания положения точки.

Вектор г можно также разложить на составляющие по осям X и У, т. е. представить в виде суммы двух векторов (рис. 1.4):

Таким образом, положение точки в пространстве задается либо ее координатами, либо радиус- вектором.

Способы описания движения точки

В соответствии со способами задания координат движение точки можно описать: 1) координатным способом; 2) векторным способом.

При координатном способе описания (или задания) движения изменение координат точки со временем записывается в виде функций всех трех ее координат от времени:

Уравнения (1.1) называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме. Зная кинематические уравнения движения и начальные условия (т. е. положение точки в начальный момент времени), можно определить положение точки в любой момент времени.

При векторном способе описания движения точки изменение ее положения со временем задается зависимостью радиус-вектора от времени:

Уравнение (1.2) представляет собой уравнение движения точки, записанное в векторной форме. Если оно известно, то для любого момента времени можно рассчитать радиус-вектор точки, т. е. определить ее положение (как и в случае координатного способа). Таким образом, задание трех скалярных уравнений (1.1) равносильно заданию одного векторного уравнения (1.2).

Для каждого случая движения вид уравнений (1.1) или (1.2) будет вполне определенным. Если траекторией движения точки является прямая линия, движение называетсяпрямолинейным, а если кривая — криволинейным.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2021 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.

Источник