С помощью чего определяют оптимальное количество интервалов при построении гистограммы

Построение гистограмм

1. Определяется наибольшее А и наименьшее В значение показателя.

2. Определяют число интервалов (участков). Обычно оно соответствует корню квадратному из числа данных. При числе данных 100 количество участков равно 10.

4. Значения границ участков определяют следующим образом:

5. Определение центральных значений для первого участка производится по половине суммы граничных значений данного участка: 5,05 + 5,45 / 2 = 5,25. Центральные значения последующих участков находятся прибавлением к значению первого участка 5,25 ширины участка = 0,4.

6. На основании полученных данных составляется Таблица 15.3.

Таблица 15.3. Исходные данные для составления гистограммы

Поскольку гистограмма выражает определенные зависимости, важную информацию может дать форма распределения гистограммы в сравнении с контрольными нормативами. Различают следующие формы гистограммы:

1. Гистограмма с двусторонней симметрией (по закону нормального распределения) встречается чаще всего и указывает на стабильность процесса.

3. Форму, вытянутую влево, гистограмма принимает в случае, когда невозможно получить значения выше определенного.

4. Двугорбая гистограмма содержит два возвышения (которые имеют чаще всего разную высоту) с провалом между ними. Она отражает случаи распределений с разными средними значениями (разницы между двумя станками или сменами, двумя материалами, двумя операторами и т.п.).

5. Гистограмма, не имеющая высокой центральной части, получается в случаях, когда объединяются несколько распределений, средние значения которых имеют небольшую разницу между собой.

Реже, но встречаются гистограммы с обрывом с обеих или с одной стороны (когда исключаются параметры, резко выходящие за границы измерений), гистограммы с прогалом («вырванным зубом»), когда оператор ошибается в считывании показателей.

На гистограммах легко отметить допустимые граничные измерения. Это может быть сделано на основе нормативных значений параметра (из нормативной документации) или путем расчета абсолютной (гарантийной) ошибки опыта.

Источник

Алгоритм построения гистограммы

1. Ранжируем вариационный ряд с помощью команды Сортировка на вкладке Главная в группе Редактирование и определяем максимальное и минимальное значения жирности молока.

2. Определяем размах выборки по формуле и число интервалов по объему выборки (количество всех значений выборки) в соответствующей таблице.

Таб.2 Количество интервалов по объему выборки

3. Так как интервалы значений должны быть приблизительно одинаковые, то длина каждого интервала (шаг) вычисляется по формуле . В результате операции деления может получиться величина с большим разрядом точности, в этом случае округляем значение до разряда точности величин задачи (в нашем случае до сотых долей).

4. Вычисляем границы интервалов по схеме:

№ п/п	Границы интервала
….	…………..
k

5. Высоту прямоугольников определяет накопленная частота интервала – это количество значений выборки, которые попадают в данный промежуток. Необходимо заметить, что значение правой границы не включается в рассматриваемый интервал. Из-за округления величины шага последняя граница может получиться больше или меньше максимального значения, поэтому в любом случае правая граница последнего интервала – это максимальное значение выборки.

6. Далее вычисляется относительная накопленная частота (частость) для каждого промежутка по формуле , где — накопленная частота интервала и объем выборки соответственно.

№ п/п	Границы интервала
….	…………..	…..	…..
k

7. Последним шагом будет построение гистограммы наблюдения с помощью Гистограммы в группе Гистограммы на вкладке Вставка.

Применим описанный алгоритм к решению нашей задачи.

a) Ранжируем ряд и находим размах выборки

b) Вычисляем количество интервалов при объеме равном 50 и величину шага

c) Определяем границы интервалов согласно схеме п.4 алгоритма построения гистограммы

Рис. 8 Определение границ интервалов

d) Следующим этапом будет определение накопленной и относительной частот

Рис.9 Значения накопленных и относительных частот

e) Выделяем столбец относительной частоты, строим гистограмму (рис.10а, 10б)

Рис.10а Выбор типа диаграммы

Рис.10б Выбор данных осей координат

По оси ординат откладываются значения относительных частот, а по оси абсцисс – границы интервалов. Для отоброжения значений границ интервала на гистограмме необходимо активизировать диаграмму щелкнув по ней курсором, правой кнопкой мыши вызвать контекстное меню (см. рис.10б) и выбрать раздел Выбрать данные…В открывшемся диалоговом окне Выбор источника данных изменить подписи горизонтальной оси.

Рис. 11а Определение подписи осей

С помощью кнопки Изменить вводим данные границ интервалов (см.рис.11а)

Рис. 11а Определение подписей осей гистограммы

Примерный итоговый результат представлен на рис.11б

Рис.11б Гистограмма результатов проверки жирности молока коров.

Наибольшую высоту имеет интервал номер 5, который является в данном случае модой распределения. Само значение моды в случае непрерывного типа исследуемого признака определяется по формуле , где — левая граница, — правая граница рассматриваемого промежутка. Для нашего случая , т.е. среднее значение величин, которые чаще встречаются в выборке. Еще одной числовой характеристикой распределения жирности молока является медиана ( ) – значение варианты, которое делит выборку на две равные части. Т.к. середина находится между 3 и 4 интервалами, то берется среднее значение этих интервалов – в нашем случае оно равно 3,45. Если медиана приходится на интервал, то ее значение равно середине этого промежутка. Условно величину медианы можно принять за среднее выборочное.

Среднее выборочное определяется по формуле

или (1)

Где — значения вариант, — объем выборки, — накопленная частота варианты (интервала), к – количество элементов совокупности (интервалов).

Рассмотрим вычисление среднего выборочного в условиях предыдущей задачи. Разложим формулу 1 по действиям и поместим результат в таблицу.

Рис. 12 Разложение формулы по столбцам

В случае с дискретным признаком берется конкретное значение варианты.

Кроме среднего выборочного еще одной числовой характеристикой вариационного ряда является выборочная дисперсия. Она показывает средний квадрат отклонения данных вариационного ряда от его среднего значения (мера рассеяния).

(2)

Где — значения вариант, — объем выборки, — накопленная частота варианты (интервала), к – количество элементов совокупности (интервалов), . – среднее выборочное вариационного ряда.

Для удобства поместим все вычисления в таблицу

Подставим полученные данные в формулу для выборочной дисперсии (2)

Ещё одной характеристикой меры рассеяния является среднеквадратичное отклонение, которое находится по формуле (3)

(3)

Данная величина показывает, что наибольшее количество значений лежит в интервале от . Т.е. оптимальный показатель жирности молока находится в интервале (2,95; 4,01).

Кроме точечных оценок существуют интервальные оценки истинного параметра распределения.

Интервальная оценка – доверительный интервал , который накрывает истинное значение параметра с заданной доверительной вероятность . С помощью него можно оценивать различные параметры генеральной совокупности.

Где значения вкантилей соответствующих распределений
(см. табл.3).

Ниже приводится таблица для построения интервальной оценки параметра распределения.

Табл. 3 Построение интервальной оценки

Параметр	Интервальная оценка
Математическое ожидание	( )	Среднее выборочное ; Распределение Стьюдента А= — если Стандартное нормальное распределение А= — если ; — среднеквадратическое отклонение
Дисперсия	( )	Выборочная дисперсия ; Распределение Хи-квадрат
Доля признака		Стандартное нормальное распределение А= ; — выборочная доля признака; — число благоприятных и всевозможных исходов соответственно

5. По заданному значению среднего квадратичного отклонения нормально распределенной случайной величины равным 9, с выборочным средним 18,31 и объемом выборки в 49 элементов построить доверительный интервал для математического ожидания с заданной надежностью 0,95.

Запишем данные задачи математическим языком

Дано:

Решение 1). Т.к. интервал необходимо построить для математического ожидания и выборка малого объема , то воспользуемся следующей формулой ( ), где А= — квантиль распределения Стьюдента.

2). Значения квантилей зависит от уровня значимости и числа степеней свободы , определяется по специальным статистическим таблицам или с помощью статистических функций Microsoft Excel. Надежность и уровень значимости связаны между собой соотношением . Используя его определим значение уровня значимости и вероятность квантиля . Число степеней свободы равно . По таблице Приложения 1 находим квантиль . Аналогичный результат получим вычисляя квантиль через функцию СТЬЮДЕНТ.ОБР Microsoft Excel.

3). Подставляем числовые значения в формулу доверительного интервала для математического ожидания

4). Полученный результат означает, что с вероятность 97,5 % истинное значение параметра будет лежать в этом интервале. Изменяя уровень значимости интервальная оценка будет меняться.

6. Результаты 10 независимых измерений длины стержня (мм): 32, 35, 33, 34, 33, 32, 36, 36, 32, 35. Построить доверительный интервал для дисперсии с доверительной вероятностью 0,95.

Дано:

Решение 1). Доверительный интервал для дисперсии строится по формуле ( ), где — выборочная дисперсия; -квантили распределение Хи-квадрат.

2). Так же как квантили распределения Стьюдента значения квантилей Хи-квадрат зависят от уровня значимости и числа степеней свободы . Используя соотношение надежности и уровня значимости , определим вероятности квантилей

.

Число степеней свободы равно . По таблице Приложения 4 находим квантили либо через функцию ХИ2.ОБР Microsoft Excel.

3). В условии задания нет значения выборочной дисперсии, но есть результаты измерений длины стержня, которые образуют выборку малого объема. Определим точечную оценку дисперсии, результат вычислений представим в виде таблицы

-1,8	3,24	9,72
-0,8	0,64	1,28
0,2	0,04	0,04
1,2	1,44	2,88
2,2	4,84	9,68
Итого	23,6

Итоговый результат: среднее выборочное ; выборочная дисперсия . Доверительный интервал для дисперсии будет выглядеть следующим образом

4). С вероятность 97,5 % интервал накрывает истинное значение параметра.

Дано:

Решение: Выборка, произведенная специалистом, маленькая ( ), поэтому определим квантиль распределения Стьюдента с вероятностью и числом степеней свободы , по таблице квантилей t-распределения (приложение 1) определяем

Поскольку , подставив известные значения, получаем . И так, для построения интервала с точностью и вероятностью 5 % необходимо отобрать 98 пакетов стандартно расфасованного продукта.

Примечание. Если выборка большая, объем , то квантиль t – распределения заменяется на квантиль стандартного нормального распределения . В случае оценки объема выборки для доли признака используется формула , где — оценка доли признака и точность интервала соответственно.

8. Требуется составить эмпирическую функцию распределения группированной выборки (см. условие задачи 4) и построить ее график.

Значения эмпирической функции распределения для статистики определяются следующим образом

— относительная накопленная частота интервала (варианты), — значение варианты или медианы интервала, — число интервалов или количество всех значений варианты. Эмпирическая функция распределения служит приближенным значением функции распределения генеральной совокупности в каждой точке .

Воспользуемся группировкой произведенной в задаче 4

№ п/п
2,52	2,83	2,68	0,20
2,83	3,14	2,99	0,14	0,20
3,14	3,45	3,30	0,12	0,34
3,45	3,76	3,61	0,14	0,46
3,76	4,07	3,92	0,26	0,60
4,07	4,36	4,22	0,14	0,86
Итого

Рис. 13 График эмпирической функции распределения

9. Компания, выпускающая в продажу новый сорт кофе, провела проверку вкусов покупателей по случайной выборке из 400 человек и выяснила, что 220 из них предпочли новый сорт всем остальным. Проверьте на уровне значимости
α = 0,01 гипотезу о том, что, по крайней мере, 52% потребителей предпочтут новый сорт кофе.

Статистическая гипотеза – предположение о генеральной совокупности, которое проверяют по выборочной совокупности (по результатам наблюдений).

Проверка гипотезы – с помощью определенных правил высказанную гипотезу сопоставляют с выборочными данными и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет.

Рассмотрим этапы проверки гипотезы.

1 этап. По выборочным данным и руководствуясь конкретными условиями задачи, формулируем гипотезы . является основной или нулевой гипотезой, — конкурирующая гипотеза по отношению к основной. Конкурирующую гипотезу также называют альтернативной, это означает, что два события являются взаимоисключающими:

— по выборке принимается решение о справедливости для генеральной совокупности гипотезы ;

— по выборке принимается решение о справедливости для генеральной совокупности гипотезы .

2 этап. Задается вероятность , которую называют уровнем значимости. Решение о том, можно ли считать верным высказывание принимается по выборочным данным, т.е. по ограниченному объему информации. Следовательно, принятое решение может быть ошибочным, здесь имеет место ошибка двух родов:

Верная гипотеза	Принимается
	—	Ошибка первого рода; — вероятность ошибки
	Ошибка второго рода; — вероятность ошибки	—

Поскольку проверка осуществляется относительно основной гипотезы, то ее вероятность задается малым числом, обычно используются стандартные значения: 0,05; 0,01; 0,005. Например, если , то проверяя каждую выборку из 100 элементов на предмет одинакового объема, в среднем в одном случае из 100 совершим ошибку первого рода.

3 этап. Определяют величину К – статистику такую, что

— ее значения зависят от выборочных данных;

— величина К подчиняется некоторому известному закону распределения при выполнении основной гипотезы ;

— ее значения позволяют судить о расхождении гипотезы с выборочными данными.

В зависимости от формулировки основной гипотезы используют следующие статистики и законы распределения (см. табл.)

Величина	Статистика (К)	Закон
Математическое ожидание		Распределение Стьюдента — если Стандартное нормальное распределение — если
Доля признака p		Стандартное нормальное распределение — если
Дисперсия		Распределение Хи-квадрат
Разность долей признака		Стандартное нормальное распределение

Где n – объем выборки, — выборочное среднее, — оценка доли признака, — несмещенная оценка дисперсии, — предполагаемые значения параметров, — объемы выборок, — оценки доли признака, b – предполагаемое значение разности.

4 этап. В области всевозможных значений статистики К выделяют критическую область. Значения критерия, попавшие в эту подобласть, свидетельствуют о существенном расхождении выборки с гипотезой . Т.е. если вычисленное по выборке значение статистики попадает в критическую область, то основная гипотеза отвергается и принимается альтернативная . Но не следует забывать, что принятое решение может быть ошибочным – основная гипотеза верная, но принимают альтернативную. В этом случае, чтобы избежать ошибок первого и второго рода их минимизируют.

Данному требованию удовлетворяют три случая расположения критической области (в зависимости от вида нулевой и альтернативной гипотез, формы и распределения статистики).

Вид критической области	Характерные черты
Правосторонняя	Состоит из интервала область допустимых значений ( ) ( ) критическая область
Левосторонняя	Состоит из интервала
Двухсторонняя	Состоит из двух интервалов 5 этап. Согласно формуле статистики, которая вычисляется в зависимости от формулировки основной гипотезы, находят числовое значение критерия по выборочным данным. Если попадает в критическую область, то основную гипотезу отвергают и принимают гипотезу . Если вычисленное значение попадает в область принятия основной гипотезы, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая отклоняется. Однако это не означает, что является единственно подходящей гипотезой: просто не противоречит результатам наблюдений, возможно, таким же свойством наряду с могут обладать и другие утверждения. Дано: Решение 1). Для проверки гипотезы о доле признака необходимо вычислить статистику , где — оценка доли признака, — предполагаемое значение параметра. (см. табл.). Оценка доли признака равна отношению числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов . Для нашего случая получаем , отсюда 2). Альтернативная гипотеза правосторонняя, квантиль, определяющий границу критической области, находится из таблицы квантилей нормального стандартного распределения с вероятностью . По таблице Приложения 3 или через функцию НОРМ.СТ.ОБР Microsoft Excel находим 3). Сравниваем табличное значение с найденной статистикой получаем , т.е. нет оснований отклонять основную гипотезу. 4). Предположение о том, что, по крайней мере, 52 % потребителей предпочтут новый сорт кофе на уровне значимости 1 % подтверждается. 10. Для данной выборки с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном виде распределения генеральной совокупности на уровне значимости 5 %. 4,36 2,11 1,95 1,64 3,67 3,77 5,57 3,93 1,85 2,98 1,78 3,30 1,53 4,86 4,63 2,17 1,06 2,81 3,42 1,97 1,40 1,63 3,50 3,18 5,50 2,88 5,00 2,47 5,53 5,72 4,49 2,04 4,11 3,44 3,20 5,15 1,72 1,53 3,44 5,44 6,00 1,68 2,62 4,28 1,68 5,47 3,63 1,52 4,47 3,69 1. Рассматриваемые величины относятся к непрерывному типу выборки, для ее графического представления необходимо произвести группировку данных (см. зад.4). После необходимых операций результат выглядит следующим образом № п/п 1,06 1,88 1,47 17,66 -1,82 3,32 39,82 1,88 2,70 2,29 16,04 -1,00 1,00 7,02 2,70 3,52 3,11 31,12 -0,18 0,03 0,33 3,52 4,34 3,93 27,52 0,64 0,41 2,85 4,34 5,16 4,75 33,26 1,46 2,13 14,89 5,16 6,00 5,58 39,06 2,29 5,23 36,61 Итого 164,66 101,52 При этом в качестве варианты берется значение медианы каждого промежутка и т.д. Среднее выборочное значение получается из суммы значений 5 столбца деленной на объем выборки (итог третьей колонки) . Среднеквадратическое отклонение равно . По условию задачи необходимо проверить гипотезу о нормальном распределении , т.е. основная гипотеза – распределения похожи, альтернативная – сходства между распределениями нет. Статистика критерия определяется по формуле , где — наблюдаемая частота, — теоретическая частота, — количество интервалов. Значение границы правосторонней критической области соответствует квантилю Хи2 распределения . Для определения близости найдем теоретические частоты наших интервалов при нормальном распределении. № п/п 1,47 -1,28 0,10 0,10 2,29 -0,70 0,24 0,14 3,11 -0,13 0,45 0,21 3,93 0,45 0,67 0,22 4,75 1,03 0,85 0,17 5,58 1,61 0,95 0,10 Итого Значения 5 колонки определяется по таблице Приложения 2, где , либо с помощью функции НОРМРАСП Microsoft Excel Рис.14 Аргументы функции НОРМРАСП Теоретическая частота это разность последующего и предыдущего значений функции стандартного нормального распределения интервалов . Условие применения критерия Пирсона , т.е. значения теоретических частот должно быть больше либо равное 5. В противном случае, группы с меньшими частотами объединяем с соседними, до тех пор пока не получим необходимое значение, при этом не забываем о наблюдаемой частоте объединяемых интервалов. Представим в виде таблицы вычисления статистики критерия № п/п 48,75 9,71 0,00 0,00 0,17 0,02 -4 17,50 1,57 -2 2,92 0,34 4,19 0,85 Итого 12,48 Итак, статистика критерия равна 12,48. Определяем значение границы критической области: число степеней свободы ; вероятность , по таблице Приложения 4 или с помощью функции ХИ2.ОБР находим его значение . Сравнивая данный показатель со значением статистики видим, что 11,07 Источник ← С помощью чего определяют направление ветра С помощью чего определяются пакеты пришедшие не в порядке очередности → Вам также понравится актер дэн лунь биография 12.09.202212.09.2022 admin 0 биография брюсова кратко самое главное 12.09.202214.09.2022 admin 0 больше чем кажется на первый взгляд трансформеры персонажи 12.09.202214.09.2022 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.