В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:
Далее,
Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда
Ответ: б)
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что поскольку Пусть тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приведем идею решения Юрия Зорина.
Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠A + ∠D = 120° и AB = BC = CD. Докажите, что точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин A и D.
Решение
Обозначим ∠CAD = α, ∠ADB = β, ∠BDC = ∠DBC = γ, ∠ACB = ∠BAC = δ. Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Поскольку AOB – внешний угол треугольников AOD и BOC, то 2∠AOB = (α + β) + (γ + δ) = (α + δ) + (β + γ) =∠BAD + ∠ADC = 120°, поэтому ∠AOB = 60°, ∠BOC = 120°. Далее можно рассуждать по-разному.
Второй способ. Заметим, что ∠B + ∠C = 240°, ∠OBC + ∠OCB = 60°. Поэтому ∠ABD + ∠ACD = 180°. На продолжении отрезка DB за точку B отложим отрезок BK = CA. Тогда треугольник ABK равен треугольнику DCA по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AK = AD, ∠KAD = ∠BAD + ∠CDA = 120°. Значит, ∠ODA = 30°. Аналогично, ∠OAD = 30°. Следовательно, AO = OD.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.
б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому Значит, 3α.
Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:
Приведем другое решение пункта б)
Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Проведем две высоты DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем а из треугольника BOF: Тогда высота трапеции а HC = 6 – x. Напишем теорему Пифагора для треугольника DHC:
Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.
Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9.
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
то есть 
откуда 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
Значит, 
3α.
а из треугольника BOF: 
Тогда высота трапеции 
а HC = 6 – x. Напишем теорему Пифагора для треугольника DHC:
