архимедово лето или история содружества юных математиков

Архимедово лето

или
История содружества
юных математиков

Книги 1 и 2

*** 1959, 1962 ***

PEKЛAMA: 500 РАДИОСПЕКТАКЛЕЙ НА SD 64GB — ГДЕ.
BAШA ПОМОЩЬ ПРОЕКТУ: ЗАНЕСТИ КОПЕЕЧКУ — КУДА.

Глава первая
Лева и Наташа встречаются у речки. — Старинная пушка и ее огромные ядра. Семья Тускаревых на даче. — Вовина игрушка. — Таинственная лошадка и загадочное число. — Интересные рассказы

Глава вторая
Рассказ Наташи о знаменитых женщинах-математиках. — Русский академик Леонард Эйлер пишет письма к одной принцессе. — Подруга Вольтера и Ньютон. — Дочь знаменитого поэта Байрона. — Софья Ковалевская и ее отрочество. — История с нехваткой обоев на даче. — Софа сама открывает новую науку. — Встреча со знаменитым ученым Вейерштрассом за границей, и дальнейшее

1.
Через несколько дней Лёва отправился со своей новой знакомой на прогулку в лес.
В лесу шли, шли, а потом вдруг повернули налево, на просвет, и вышли на неширокую полянку.
— Стоп! — сказал Лёва. — Как раз — два пенька первого класса добротности. Всё! Рассказывай.
Наташа кивнула в знак согласия, уселась на пенек и начала свой рассказ.
— Ну, я не очень хорошо, но в общем все-таки помню. Говорят, раньше образованных женщин было очень мало. Особенно таких, которые занимались математикой. Первая, о ком как будто есть сведения, — это была Гипатия, это еще в древности, в эпоху, когда темный и грозный Рим владел почти всем Средиземноморьем, это в конце четвертого и в начале пятого века нашей эры. Ее отец, Теон, был видный ученый того времени, математик и астроном. Он издал творения Евклида. Ну, Евклида ты, конечно, знаешь — ведь не первоклассник!
Лева кивнул.
— Гипатия преподавала, у нее было очень много учеников. Она писала разъяснения и примечания к сочинениям ученых.
— Это, кажется, комментарии называются, а кто писал — тот комментатор, — заметил Лёва.
— Вот именно. Это название выдумали позднее, в средние века.
— Не буду перебивать. Говори.
— Можешь перебивать, это ничего. Так вот, ей принадлежит несколько таких разъяснительных сочинений. Отец ее, кстати сказать, комментировал знаменитый астрономический трактат Птолемея, древнего астронома второго века нашей эры, который придумал эту старинную астрономическую систему, где в центре мира стоит не Солнце, а Земля.
— А все-таки для своего времени Птолемей был большой, незаурядный ученый!
— Еще бы! Его сочинение называлось «Великое построение математическое». Не удивляйся, что я по бумажке читаю, это кое-что я записала, а то ведь забудешь! — И Наташа расхохоталась.
— Ничего, — немного хмуря брови, сказал Лёва, — ничего! Хорошо сделала, что записала. Я тоже что-то слышал о Птолемее.
— Это было первое большое сочинение по астрономии.
— Про нашу солнечную систему главным образом.
— Это был итог всей древней астрономии. Была придумана очень остроумная система для описания путей планет нашей системы по небесному своду. Эта старая система мира дожила до Коперника, а прожила она всего тысячу двести лет! У Гипатии были еще рассуждения и объяснения арифметических сочинений знаменитого грека Диофанта, который жил около третьего века нашей эры. И рассуждения о геометрических сочинениях Аполлония Пергейского. Это третий век до нашей эры. Гипатия была известна своей образованностью и редкой красотой. Но с ней случилась большая беда. Ее считали «язычницей»; рассказывали о ней, будто бы она верила во многих богов, которые олицетворяли собой различные явления природы.
Так оно было или нет, я не знаю, но самое главное было в том, что Гипатия знала, ценила и уважала древнюю греческую науку, а фанатики, христианские монахи, ненавидя науку, боролись с учеными и выдумывали всякую клевету на них. И вот, представь себе, они умни-
цу Гипатию побили камнями, то есть заставили озверевшую толпу вытащить ее из дома на улицу и швырять в нее камни, покуда не
убили!
Эх, — сказал Лёва, — терпеть не могу таких подлых истории!
Наших бы туда двух бойцов с пулеметом. Они бы им показали, как камнями ученых убивать. Ну, рассказывай дальше.
— А потом в истории долго нет сведений об ученых женщинах. Очень долго. Только уж много-много позже выделяются некоторые из самых знатных женщин, разные принцессы, которых учили самые знаменитые математики. В конце шестнадцатого века один из них, Виета.
— Знаю, был такой. Теорему его проходили.
— Потом в семнадцатом веке — Декарт.
— Философ, француз. Папа говорил. Обещал рассказать.
— И еще в семнадцатом веке, попозже, один немецкий философ и математик, Лейбниц. Вот эти-то ученые и занимались с принцессами. Уж не знаю, что из этого получилось, но одной из них, тоже, наверно, довольно образованной женщине, русский академик-математик в восемнадцатом веке написал целую книгу о математике и тогдашней науке вообще.
— Кажется, это я тоже слышал. Это не Эйлер ли?
— Он самый. Леонард Эйлер. Книга так и называется: «Письма. к принцессе». Родом швейцарец Он был наш русский академик. Дружил с Ломоносовым. Жил и работал в Петербурге, там умер и похоронен. А потом еще в том же веке была одна очень образованная женщина, друг французского знаменитого писателя Вольтера, Эмилия Шателэ. Так вот, понимаешь ли, она, по совету Вольтера, перевела на
французский язык очень трудное, но замечательное сочинение Исаака Ньютона.
— Ну, это знаменитый английский ученый, который открыл всемирное тяготение. Откуда ты все это знаешь, скажи пожалуйста?
Да, видишь ли, — отвечала ему Наташа, — я вот тут прочла эту книжку о Ковалевской, потом с мамой об этом говорила. Она и сказала: тебе надо все-таки узнать, как женщины в старину добивались образования. В выходной день, когда мы с ней поехали на электричке за город, я целый день слушала, как она мне рассказывала, а потом я опять эту книжку прочла. А то бы мне и пересказать тебе нечего было.
Лева посмотрел на Наташу недоверчиво. Помолчал, сорвал травинку, засунул в рот. Потом сказал:
— Давай-ка рассказывай дальше. В общем, очень интересно!
— Эмилия Шателэ перевела книгу Ньютона и тоже написала к ней комментарии. А один французский ученый, академик Клеро, не поленился: прочел внимательно всю ее работу и там, где нужно было, даже поправил. Мама говорит, что перевести такую книгу, как это сочинение Ньютона, мог только очень образованный человек. Потом была итальянка Мария Аньези, которая придумала свою собственную кривую, мне мама ее показывала в учебнике высшей математики. Аньези жила в восемнадцатом веке и была профессором в городе Болонье. Затем француженка Софи Жермэн, это уж в начале прошлого века. С ней был такой случай: она написала письмо видному французскому математику — академику Лагранжу — и подписалась мужским именем, будто она не девушка, а молодой человек, ученик высшей школы. Ученый захотел познакомиться, потому что удивился, какую хорошую работу прислал ему этот молодой человек. Она пришла к нему. И он стал ей помогать. Говорят, в детстве ей не позволяли заниматься математикой, так она писала свои выкладки по ночам, под одеялом.
— Здорово! — заметил Лёва.
— Потом еще были две англичанки: одна, не помню фамилии, переводила очень важную работу французского ученого Лапласа, где
излагается теория движения небесных тел — математически, разумеется! — а ее подруга, дочь английского поэта Байрона.
— Которого Лермонтов так любил.
— Да, да! И Пушкин тоже. Ее звали Ада. Она тоже переводила кое-что и писала о машинах, которые сами могут вычислять.
— Да, я уж слышал о них. Только толком не разберешь, в чем тут дело. Читал немножко. Есть, говорят, разные. Некоторые попроще, а есть и такие, что настоящие чудеса делают.
— Да ведь это давно было, когда Ада Байрон писала. В начале прошлого века. нет, кажется, не в самом начале.
— В школу бы нам такую машинку. Однако надо будет спросить у папы. Впрочем, постой! У меня есть дядя, он радиоинженер, вот он мне говорил. — Лёва задумался. — Слушай, а вот счетная линейка — знаешь?
— Да видеть-то я ее видела.
— Вот ее можно считать машиной или нет?
— Не знаю, должно быть, можно.
— Спрошу у дяди Вани — когда приедет, конечно. Как бы не забыть.

4.
— Вот это да! — сказал Лёва. — Это я понимаю. Но ведь это просто исключительные способности?
— Понимаешь ли, мама говорит так: да, конечно, очень хорошие способности. Но ведь теперь-то никто не мешает никому учиться. Наоборот, только и стараются помогать. Значит, дело не столько в способностях, сколько в настоящем старании. Затем Софа Ковалевская вышла замуж, уехала за границу, потому что в России тогда женщинам нельзя было учиться. Ею заинтересовались крупные ученые. И скоро она сама стала замечательным ученым. А как эти ученые заинтересовались Ковалевской, тоже довольно интересно. В Германии она прямо пошла на дом к очень известному в те времена крупному ученому, математику Вейерштрассу. Говорят, он не очень любил ученых женщин, а у нее был такой моложавый вид — она совсем была как девочка. Вдобавок Ковалевская была очень маленького роста. Вейерштрасс видит: пришла какая-то девчонка, да еще в университет просится! Он решил ее отучить от таких выдумок. Дал ей нарочно такие задачки, насчет которых он уж был совершенно уверен, что она к ним и приступиться не сумеет. Через неделю Софа является снова. Вейерштрасс сам потом рассказывал, что сперва он не заметил, как она миловидна, какой у нее живой умный взгляд. Пришла и говорит, что все задачи решила. Вейерштрасс не поверил, говорит: «Будьте добры, садитесь, мы с вами посмотрим». Усадил ее рядом с собой и начал по пунктам проверять все ее решения И, к великому его удивлению, оказалось — все задачи решены правильно, да, мало того, и все решения необыкновенно хорошо и точно обоснованы. Он потом считал Софу своей лучшей ученицей. Благодарил Ковалевскую в письмах за многие ее меткие замечания, которые навели его на подлинные открытия. Наукой Софа занималась с невероятным увлечением. Во вред себе работала целые ночи напролет. Конечно, ей было очень тяжело, что она не могла работать у себя на родине, ведь в те времена женщинам в России не позволялось работать на научном поприще. Получила премию от Парижской Академии наук. Премию еще специально для нее увеличили, потому что ее работа была исключительно хороша. Была профессором в Швеции, в городе Стокгольме. Умерла рано. У нее было больное сердце.
— Нет, это все-таки способности.
— Мама говорит, что теперь многие преподаватели занимаются специально вопросами, как бы облегчить ребятам ученье, из-за этого учиться теперь во много раз легче, чем во времена Ковалевской. Надо иметь рвение, а потом действительно любить свой предмет.
— Ну-у! — протянул Лёва. — Что за разговоры. Что ж ты думаешь, я не люблю?
Наташа посмотрела на него внимательно, ничего не ответила и стала аккуратно развязывать сверточек, куда им положили дома холодные вчерашние котлеты, хлеба да свежих огурчиков.
— Но ведь не всякому же, впрочем, — сказал Лёва, помолчав, — надо обязательно в вуз идти и ученым сделаться!
— Нет, конечно! — тотчас же откликнулась Наташа. — Мне кажется, когда уж человек выделяется на производстве, показывает, какое у него рвение, смётка да упорство, и видно, что ему просто только широкого образования не хватает, вот такой человек достоин высшего образования. Или кто особенно любит науку и с малых лет в ней обнаруживает большие способности, да еще терпение у него железное. Но образованным должен быть всякий советский человек.
— Еще бы! — подхватил Лёва. — Нам нужна техника, автоматы и чтобы у нас все было самое лучшее. А машины всё хитрее да сложнее с каждым годом. Так как же ты будешь около этих машин работать, если ты разобраться не можешь? Тут уж без математики не обойдешься.
— Ясно, Лёвушка! — ответила Наташа.
— Да, — произнес Лёва, — а рассказала ты здорово.
— Но ты мне прошлый раз тоже очень хорошо про Дарвина и его корабль рассказывал.
— Да разве в этом дело! — с досадой сказал мальчик. — Я просто не понимаю, откуда ты все это так хорошо и подробно знаешь?
Наташа посмотрела на него и засмеялась.
— Уж если ты так говоришь, — сказала она, — придется мне все тебе начистоту выложить. Про Ковалевскую у меня было кое-что записано в мою памятную тетрадку. А потом вспомни-ка: ты говорил, что мы сегодня в лес пойдем?
— Говорил вчера.
— Я знала, что сегодня придется тебе рассказывать. Вот я вчера вечером маму и попросила, чтобы она мне напомнила. Она и стала опять рассказывать. Мы уж заснули с ней, когда светать начало. Так что — ничего удивительного. Подготовилась. Вот что!
— Хорошая у тебя мама!
— Мама у меня очень хорошая!

Глава третья
Любопытная история с «конвертиком». — Число «сто», оказывается, пишется по-разному. — Разговор о науке идет всерьез. — О чем мечтал Лёва? — На чем же наконец ребята остановились? — Как исследовать лабиринты при помощи узлов

2.
Вовка стоял около скамейки в саду и читал нотацию огромному серому коту Терехе, который, не обращая никакого внимания на Вовкину декламацию, умывался лапой самым старательным образом.
Ах, это ты, Наташа! — сказал Вовка, прервав свою возвышенную речь. — Представь себе, этот недопустимый кот, как выяснилось, совершеннейший разбойник. Опять сожрал прехорошенькую птичку! А папа его еще Теренцием величает.
— Какую же он птичку съел? — поинтересовалась Наташа.
Воробышка. И, знаешь, вот, наверно, того самого, который у нас здесь, на березе, жил. Очень был хороший воробышек! Ну, разве это простительно?
Кот продолжал умываться с прежним усердием.
— Вряд ли, — сказала Наташа. — Это, наверно, с чужого двора был воробышек. Со своего он есть не станет.
— Ну, если чужой. — задумчиво сказал Вовка, бросая в сторону длинный прут. — Но своего. А я уж было хотел его хворостиной. А вы где были?
— Мы на речке. Видели там ребят, которые рисовали на песочке конвертик. Знаешь, одним росчерком?
Вовка сейчас же взял прутик и присел на дорожке:
— Но ведь конвертик не выходит. Нельзя сразу, не отнимая прутика, нарисовать.
— А ведь его можно распечатать.
— Как это так «распечатать»? — удивленно спросил Вовка, подняв голову.
Наташа показала.
— Вон как! — заметил Вовка и начал старательно обводить чертежик.
Но тут над ними раздалось старческое покряхтывание. — Куда, куда повел! — сказал дедушка, наклоняясь над Вовкой. — А пути считал? Ведь я тебя учил.
— Здравствуйте, дедушка Тимофей
девочка.
— Здравствуй, милая, — отвечал старик. — Это ты ему показала. Хорошо придумала, молодец. Ну, сделал?
— Вышло! — ответил Вовка. (. )
Подошел Лёва и посмотрел на их занятия, а это ведь тоже геометрия?
А как же иначе? Даже и в этой игрушечной штучке есть свои особенные правила, которые можно обнаружить и вывести.
— Это называется узлы! — торжественно заявил Вовка, которому Наташа уже начертила еще фигурку.
— А вот лабиринты еще? — спросил Лёва.
— Вот это замечательная вещь, лабиринты! — воскликнул Вова. — Говорят, есть и настоящие. В садах. А в древности, мне мама сказала, был один такой лабиринт, который был совсем настоящий. В нем жил очень страшный Минотавр, людоедище, ужасная образина и с бычьей головой. Рогатый! Ел людей. Рога — вот такие!
И Вовка раздвинул руки как только мог, чтобы показать, какие были у Минотавра страшные рога.
— Это сказка, — заметила Наташа.
— Что ж, что сказка, — отвечал ей дед, — а все-таки интересно!
— А может быть, что-нибудь такое в древности и было в этом роде, — сказал Лёва. — И потом из каких-то событий вот и вышла этакая легенда, то есть сказка.
— Вполне возможно, — отвечал дед. — Известно, что один лабиринт был на острове Крит. Может быть, это было что-то вроде дворца. Были лабиринты и в Египте. Само слово «лабиринт» произошло от слова labrys, обозначающего боевую секиру, двойной топор. На Крите в эпоху, которая предшествовала древнегреческой культуре, были в обычае особого рода праздничные, церемониальные «игры с быками», отсюда и пошли, возможно, греческие сказки о чудовищах с бычьими головами.
— Ведь всякий лабиринт можно обойти, — сказал Лёва.
— Далеко не всякий, — возразил дед, — напрасно ты думаешь. Если взять лабиринт подземный, где система коридоров, переходов и залов располагается не в одной плоскости, как это обычно делается в разных головоломках, а в пространстве, то есть различные части лабиринта находятся то выше, то ниже, а коридоры идут наклонно из одного этажа лабиринта в другой, самые этажи расположены как попало, — обойти такой лабиринт отнюдь не просто! Такие лабиринты сами собой получаются в копях, в каменоломнях. Известны римские катакомбы как раз такого строения, а у нас существуют знаменитые одесские подземелья, где, как ты, наверно, знаешь, скрывались во время Великой Отечественной войны наши доблестные партизаны, не прекращавшие ни на час своей борьбы с наглыми фашистскими захватчиками. Немцы туда и сунуться не смели, ибо запутаться там — одна минута. Ты, вероятно, читал повесть Катаева «За власть Советов». А лабиринты, которые даются в разных задачках, — это совсем другое дело. Здесь можно все рассказать и разъяснить. На плоскости, на плане все ясно.
— Я и не подумал про лабиринты из каменоломен. Ну, а такой лабиринт на плоскости, скажем в саду, — тот ведь можно обойти?
— Этот можно, — сказал дедушка. — Но если устроить настоящий такой лабиринт в большом парке, густо засадить промежутки между ходами деревьями и кустарником, так чтобы насквозь не было видно, то легко заблудиться!
— А знаменитое правило правой руки? — спросил Лёва.
— А что это за правило? Я не знаю, — вмешалась Наташа.
— Ладно, — сказал Тимофей Иринархович, доставая из кармана огромнейшую пенковую трубку с фигурами, прокуренную до коричневого цвета, — давайте откроем конференцию по сему вопросу. До обеда еще долго. Разберем по косточкам. Даем слово Лёве. Пусть он нам доложит про правило правой руки. А Владимир Николаевич будет у нас ученым секретарем.
Вовка открыл широко глаза, подошел к деду и сказал громким шепотом, который все отлично слышали:
— Дедушка, ведь я потерял свой зелененький карандашик! Так как же я буду секретарем, когда у меня нет карандашика?

Глава четвертая
Приезжает Никита Петушков — нашего полку прибыло! — Обсуждается правило правой руки. — Тупики. — Как дойти до центра? — Четное и нечетное число путей. — Кольцевой маршрут. — Одномаршрутная сеть. — Вова путешествует по шахматной доске Моа и дерево

1.
— Хорошо! — сказала со смехом Наташа. — Как-нибудь мы это дело с карандашом уладим. А кто же у нас председатель? Конечно, эго будет Тимофей Йринархович.
— Невозможно! — отвечал дедушка, пыхтя своей трубкой и выпуская в воздух огромные клубы дыма. — Я должен быть оппонентом Лёве, который у нас докладчик.
— Дедушка, — сказал Вовка, — но я, как секретарь, должен сказать. ты подумай сам!
В это время скрипнула знакомым звуком калитка садика, и так как до нее было ровно три шага с половиной, то почти немедленно
из-за пышного куста сирени появился мальчик чуть-чуть повыше
Левы, рыженький. Глаза прозрачные, внимательные, смышленые.
Опрятная холщовая блуза и рюкзак за плечами. Поклонился и сказал:
— ПетушкоЕ Никита явился в ваше распоряжение! Привет всем, а дедушке особо. Добрый день!
— Ура! — закричал Лёва, бросившись к нему. — Вот и Ника, самый лучший товарищ на свете!
Вовка влез на лавку и закричал:
Ура в честь Ники Петушкова! Троекратное гип-гип-ура!
Тут поднялся такой крик, что дедушка даже почесал в затылке. А Наташа сказала:
— Ну вот, Ника и будет у нас председателем.
На крик появилась и мама.
Добрый день, Мария Алексеевна! — поклонился Ника Петушков. Наши все вам кланяются, а бабушка прислала вам некий таинственный сверток, который мне не разрешено развертывать.
— Никита будет председателем! Мама, ты не понимаешь, мама, ты не мешай! — закричал Вовка.
Немножко придется помешать, — отвечала Мария Алексеевна. — Ну-ка, Никитушка, снимай свою поклажу, иди умойся, и я дам тебе закусить.
Умыться можно, — отвечал Никита, идя за ней. — Но мама меня так накормила перед отъездом, что совершенно даже немыслимо. Она, понимаете ли, купила ветчины двести граммов.
К чему умываться? — философически пробормотал Лёва. — Все равно на речку пойдем. Впрочем, неважно. Дедушка, а что именно будет обсуждать наша конференция. Никита — просто прирожденный председатель! Так бсдст собрания — просто удивительно. Кроме того, он и сам может выступать не хуже меня. Нисколько!
Мы можем несколько расширить нашу программу, — отозвался Тимофей Ирикархович. — Отчего же и нет?
Добавим фигурки единого росчерка, — предложила Наташа.
Вполне уместно! заметил дед. — Присоединяюсь к предыдущему оратору. И даже приветствую. Это нам в самый раз по нашей теме.
Появился Никита, обтирая ладонью мокрые волосы. Ему подробно рассказали, по какому поводу собралась эта конференция и почему именно он выдвигается на пост ее председателя. Никита не стал долго церемониться, уселся на скамью и сказал.
— Тускарев Лёва имеет слово.
Прекрасно. сказал Лёва. — Мы решили обсудить вопрос о 3. 35
лабиринтах вообще, а кстати и о том, какое они имеют отношение к геометрии. Я немножко читал о лабиринтах, правда в позапрошлом году, но кое-что помню. Пытался и решать их, то есть находить путь к центру, потому что задачей лабиринта является войти в него, дойти до его центра, а потом выйти обратно. Центром может быть, конечно, любая заранее назначенная точка в лабиринте, но обычно выбирается такая, которую труднее других достигнуть, а потом выбраться на волю. Правило правой руки, про которое я говорил, заключается вот в чем. Если я, войдя в лабиринт, буду все время держаться правой рукой за ту стену, которая у меня окажется справа, то я, очевидно, никогда не потеряю связи со входом. А если так, то я, значит, всегда смогу к нему вернуться. Следовательно, я не заблужусь в лабиринте. Для того чтобы разобраться, представим себе такой простой «лабиринт», в котором и запутаться-то нельзя: обыкновенный коридор, только замкнутый с другого конца, или тупик. По-моему, нет надобности доказывать, что я могу, касаясь правой рукой стены, обойти его весь, как бы он ни изгибался, и выйти наружу. Если мой тупик имеет еще и ответвления, то есть от него
отходят добавочные тупики — но именно тупики, а не что-нибудь другое! — то я их все обойду тем же самым порядком, вернусь наконец в главный тупик и выйду беспрепятственно на белый свет.
— Прекрасно! — одобрил дед. — Ты сказал «именно тупи-ки, а не что-нибудь другое». Значит, «что-нибудь другое» может тебе помешать? Ну-ка, расскажи, что это такое?
— Дело вот в чем, — глубокомысленно продолжал Лёва, сосредоточенно смотря вниз на песок, на котором он что-то чертил прутиком, — что в лабиринте может встретиться петля. Если я все время держусь стены правой рукой, я обойду петлю и снова попаду в мой тупик, который, как доказано, можно обойти без затруднений. Но если я не буду следить за тем, чтобы не потерять моей стены справа, и по ошибке переменю руку или повернусь тогда, когда мой коридор и не думал поворачивать, то я могу попасть не к наружной стенке петли, а ко внутренней, и уж тогда.
— Определи, что такое «наружная» стенка! — вмешался председатель Ника. — Иначе запутаемся.
— Вот именно! — поддержал оппонент, дедушка Тимофей Иринархович, выпустив замечательной красоты дымное колечко, а вслед за ним еще и другое, поменьше.
— Наружная стенка. — начал, немного запинаясь, Лёва, — это, видишь ли, стенка, являющаяся непосредственным продолжением стены основного тупика, а он ведь сам представляет одно целое со своим входом. Теперь представь себе, что я иду и все время провожу мелом по стене непрерывную линию правой рукой. Попавши из тупика в петлю, я вычерчу мою меловую линию и на всей ее наружной стенке.
А внутренняя стенка петли не имеет непрерывного соприкосновения со стенами исходного тупика. На ней меловую линию начертить этим способом нельзя. Ясно?
— Да, ясно, — отвечала Наташа.
— Так вот, если я переменю руку в петле, то оторвусь от той стенки, которая имеет непрерывное соприкосновение со входом, попаду к внутренней стенке и так и буду вокруг нее ходить. Вот это и значит- — я заблудился. Конечно, на самом деле лабиринт устроен много хитрее, чем я тут нарисовал, и нарочно так придумано, чтобы была не одна петля, а целая система петель и чтобы ты на каждом шагу мог оторваться от той стенки, которая связана со входом, и попасть на внутреннюю стенку — вернее, на систему внутренних стенок, — и тогда ты попался! Вот в чем основная трудность лабиринта. Я все сказал.

3.
Вот еще задачка, — вдруг взволновался Вовка, — я и забыл совсем! Обойти шахматную доску, то есть начертить ее как решетку, а указывать, которые черные поля, которые белые, не надо, ходить не
по полям, а по решетке. Сколько же надо на это отдельных росчерков? Четырнадцать. А почему? Да потому, что на всех скрещиваниях путей решетки внутри доски находятся только одни четные узлы и только по краям доски имеются нечетные узлы (тройные); их с каждой стороны по семи штук, а всего, значит, двадцать восемь. На каждую пару нечртных узлов, как сказал Ника, полагается один маршрут, следовательно, всех их будет четырнадцать. Вот вам объяснение. А если через все черные поля провести диагонали, то нечетных узлов останется меньше- их будет только шестнадцать, а росчерков восемь. Можете проверить! А если еще и этот последний чертеж немножко переделать, то есть в двух крайних клетках на концах «большой дороги», которая идет из левого нижнего угла доски через всю доску в верхний правый угол. (Чертеж на стр. 45).
— От поля а1 до поля h8, — вставил дед.
Конечно! — кивнул деду Вовка.- — Так вот, если провести диагонали перпендикулярно к другим диагоналям, причем самой-то большой диагонали мы не будем проводить, так тогда надо только шесть росчерков. Мы с дедушкой делали. А если взять на чертеже кусок кирпичной стены с тремя стыками кирпичей. вот такой! Так надо четыре росчерка!
Так и есть, — сказал Лёва, успевший начертить и проверить.
Есть еще «подпись Синдбада-морехода»! Он ее чертил на песке.
Так! — заключил дед. — Теперь разреши мне, председатель, сделать маленькое добавление.
— Просим! — сказал председатель.
Тереха, — крикнул Вовка коту, который вспрыгнул к нему на колени, — проваливай немедля! У нас конференция!
Кот не торопясь осмотрел всю конференцию довольно презрительно, спрыгнул и величественно удалился.
— Уходит по прямому маршруту! — заметил Вовка.
И все засмеялись.
— Так вот, — продолжал Тимофей Иринархович, — под названием путь мы с вами будем понимать линию, соединяющую два узла, из
которых один является началом данного пути, а другой — его концом. От каждого узла нашей маршрутной сети можно по путям, которые и составляют эту сеть, перейти к любому иному узлу этой сети. Это свойство называется связностью. Если внутри нашей системы имеется та-кой путь, удаление которого ведет к уничтожению связности, после чего наша система распадается на две отдельные системы, то такой путь мы называем мостом. Вот перед вами чертеж, на котором мы видим мост аЬч тогда как на другом чертеже Ьс не является мостом; если его удалить, связность системы не будет нарушена. Одиночный путь, которым кончается прямой путь, будем называть тупиком, а конечный узел его — свободным концом. Если все это ясно, то теперь я укажу, что существуют особые сети, где совсем нет кольцевых маршрутов, а есть только одни мосты и тупики. Такую систему путей называют деревом. Ясно, что дерево одним маршрутом обойти нельзя: зашел в первый попавшийся тупик, и готово — застрял!
— А если оно состоит из одного пути? — спросил Лёва.
— А стоит ли отдельный путь деревом называть? — спросил дед. — Это только основа для дерева.
Лева молча пожал плечами: он, по-видимому, все-таки остался при своем мнении.
— Характерной особенностью дерева, — продолжал дедушка, — является то, что оно теряет связность, если из него изъять любой путь, потому что каждый из них либо мост, либо тупик. А ведь тупик это тоже в некотором смысле мост — он связывает нашу систему со свободным концом: если тупик удалить, то этот конец останется в виде ни с чем не связанной точки. Из этого необходимо заключить, что. у дерева число путей меньше. чем что? Кто скажет?
— Меньше числа узлов. И меньше как раз на единицу! — ответил Лёва почти без запинки.
— Докажи сейчас же! — потребовал Вовка.
— Это нетрудно, — отвечал ему брат. — Возьми самое простое дерево, отрезок — вот как я сейчас дедушке говорил, — то есть отдельный путь, который представляет собой один мост, соединяющий две точки. А из него, как из основы, можно сделать какое хочешь дерево, прибавляя к нему постепенно тупик за тупиком, превращая тем самым один из предыдущих тупиков или часть такого тупика в мост и так далее. Сколько бы, однако, ты ни прибавлял, все равно — одна лишняя точка, которая была вначале, так и останется. Значит, в дереве путей на единицу меньше, чем узлов.
— Дедушка, — спросил Вовка, который, видимо, не сразу разо брался, — это он верно говорит?
— А ты как думаешь? — спросил, в свою очередь, Тимофей Иринархович.
— Верно, верно! — сказала Наташа.
— Тогда, — нерешительно выговорил Вовка, — ничего не поделаешь. придется записать. ну, что он верно сказал.
— Рассмотрим еще, — продолжал оппонент Тимофей Иринархович, — что у нас получится, если из связной системы путей постепенно изымать один за другим некоторые пути, но только не такие, изъятие которых нарушает связность. То есть будем изымать пути так, чтобы наша система не распадалась.
— Значит, — подсказал Лёва, — мосты мы изымать не будем.
— Именно. И вот тогда из любой данной системы путей в конце концов мы получим дерево. Можно это сделать самыми различными способами. Но самое интересное заключается в том, что, как бы мы ни изымали эти пути, число изъятых путей для данной системы всегда останется одним и тем же!
— Что же это будет за число? — спросила Наташа.
А вот мы попробуем его определить! — наставительно сказал дедушка. — Это будет довольно интересная задача.
В это время на площадке перед скамеечкой снова появился кот Теренций и, оглядев всех самым надменным взглядом, уселся прямо
перед Вовкой, однако спиной к нему. А за ним пришла Мария Алексеевна и заявила:
— Товарищи делегаты, устроим перерыв. Все равно Вовка у вас вот-вот заснет. Вы его заучили.
— Ты, мама, это совершенно напрасно! — взмолился Вовка. — Я здесь секретарь, а ты.
. а я министр снабжения. И поэтому приглашаю вас всех обедать. Пожалуйте-ка, руки мыть и садиться за стол. Да и дедушке надо отдохнуть.
Лева быстро подошел к Никите и сказал ему вполголоса:
Перерыв так перерыв. Мы с тобой им таких лабиринтов за это время придумаем, что останутся довольны!
Очень хорошо! — ответил ему в тон Никита. — У меня тоже есть кое-какие соображения. А кстати, и насчет одномаршрутных путешествий. Нажмем!

Глава пятая
Наташина подруга. — Важный вопрос о числе изъятых путей. — Сколько путей может быть на дереве? — Куб — правильное выпуклое тело. — Как из шести спичек сделать четыре треугольника? — Тетраэдр. — Замечательная теорема Леонарда Эйлера о многогранниках. — Решение вопроса о фигурах одного росчерка. — Калининградские мосты. — Геометрия путей и узлов. — Что такое отвлечение?

Маршрутную конференцию собирались было продолжать после обеда, но это, конечно, не вышло. Пошли гулять. Выяснилось, что, может быть, удастся найти лодку на речке. Потом оказалось, что хоть лодка и есть, но нет весел — за ними надо идти. И вот решили, что уж лучше сегодня пойти в лес. Там, кто-то рассказывал, есть очень интересное лесное озеро, совсем черное, и будто бы на нем живет новый заморский зверек — ондатра. А еще кто-то сказал, что за речкой есть курганы, а еще дальше, километров за семь, — самая настоящая пещера!
В силу всех этих важных обстоятельств конференция была отложена, и собрались ребята чуть ли не через целую неделю, потому что зарядил обложной дождик и пришлось сидеть дома.
Вовка пришел к деду и сказал:
— Дедушка! Вот мы с ребятишками. Это соседи наши: вот Катя, ты ее видел, и потом с другого еще двора — не те, которые напротив, а вон оттуда. Это еще Ванька. И мы хотим играть в лабиринты. Мне, понимаешь, мама дала моток штопки, но она сказала, чтобы потом назад принести, вот в чем дело!
— Так, — сказал Тимофей Иринархович. — Что же из этого всего получается? И чем я могу тебе помочь?
— А получается вот что. Мы так решили, что Катя будет Тезеем. Ты мне дашь для нее свою палку — это будет палица суковатая. Ванька будет Минотавр. У него есть маска — заяц с длинными ушами. Это у него будут рога, как у Минотавра.- Катя будет с ним сражаться. А я буду Ариадна, потому что у меня есть мамин моток штопки — только ведь мама велела назад принести! — и я буду ее спасать от Минотавра.
— Пре-крас-но! — протянул дед. — Правда, Ариадна была царевной и на мальчика мало была похожа.
— Вот в том-то и дело! — вздохнув, продолжал Вовка. — Но ведь мотка-то у Кати нет. моток-то ведь у меня! А мама велела принести обязательно назад. И чтоб цело было!
— Да! — посочувствовал дедушка. — Действительно, затруднение. А где же будет лабиринт?
— Лабиринт у нас в бузине. Лабиринт хороший — не продерешься!
— А дождик как же?
— Вот и не знаю. Дедушка, а может быть, нам сегодня опять устроить конференцию?
— Да я не прочь. А ребята как? Лёва с Никой?
— Сейчас узнаю! — решил Вовка, с чем и исчез.
Ника и Лёва пришли довольно скоро. Вид у них был какой-то странный, замысловатый и даже заговорщический. Они важно переглядывались друг с другом, делая какие-то таинственные знаки. Вовка принялся искать свой зелененький карандашик, который он за эту неделю терял уже два раза.
— Ведь вот здесь был! — сказал Вовка с огорчением. — Только что был.
Тут Вовка, став на четвереньки, открыл дверь на террасу, чтобы было на полу посветлее, но остановился, поднял голову и, не вставая, сказал не очень громко:
— Ползет чудо.
— Что за чудо? — спросил дед.
— Босое, четвероногое, и с него льется вода.
Мальчики бросились к двери смотреть на чудо, но из садика раздалось фырканье, сдержанный хохот, шлепанье босыми ногами по лужам, а затем появилось и само «чудо». Это был широкий синий дождевой плащ, а из-под него были видны босые ноги, целых четыре, и загорелая ручонка, которая держала тапочки.
— Эге! — сказал дед. — А как сие надлежит разуметь?
Но «чудо» уже вскочило на ступеньки террасы. Огромный плащ свалился, и показались раскрасневшаяся Наташа и незнакомая девочка, небольшого роста, курносенькая, немножко бледненькая, но с очень веселыми серенькими глазками.
— Привет всей честной компании! — сказала Наташа, кланяясь дедушке и надевая тапочки. — А я привела мою подругу. Ее зовут
Веточка Богданова.
— Веточка? — повторил с удивлением Вовка.
— Виктория, — объяснила Наташина подруга, приглаживая сбившиеся под тяжелым плащом волосы. — Мама меня звала Веточкой, так оно и осталось.
— «Звала»? — переспросил дед.
— У нее нет мамы, — сказала Наташа. — Фашисты ее угнали, и так она там где-то и погибла.
— Да, — подтвердила Веточка, — даже и не узнали где.
— А ты с кем же? — спросил Тимофей Иринархович.
— У меня только бабушка. Ну, потом. вот еще есть подруга Наташа. Мы решили, что вы все сидите дома, ну и пришли к вам в гости.
— Превосходно! — сказал Лёва. — Правильно придумали. А мы собираемся как раз продолжать нашу одночеркальную конференцию. про мосты, про деревья.
— Это то, что ты рассказывала? — обратилась Веточка к Наташе.
— А Веточке будет интересно? — спросил Ника.
— Ну да. — ответила Наташа, кивнув подруге, а потом сказала Нике: — Отчего же нет? Мы в одном классе. И вместе даже читали про Софу Ковалевскую. А ты знаешь, как Софа стихи любила? У нее даже отняли хрестоматию, потому что она — ну, когда маленькая конечно! — только и делала, что ходила по залу и читала лермонтовского «Мцыри» вслух! Она и сама стихи писала.
— Как же можно Лермонтова не любить? — сказала Веточка. — Помнишь, Наташа, как это у него сказано про одинокую гробницу?
— Это из Байрона, — заметил Ника.
— Мы про Байрона с Наташей тоже недавно вспоминали, — заявил Лёва, — то есть про дочку его, Аду. Дедушка, ты не знаешь, что это была за счетная машина, о которой она писала?
— Нет, — отвечал дед, подумав, — что-то не слыхал. Вот дядя Ваня приедет, ты попробуй потолковать с ним насчет этого дела. Он это все знает.
— А счетная линейка — это машина или нет?
Конечно, — отвечал дед. — Математический инструмент. А надо
вам все-таки об этом с дядей Ваней поговорить. Он в этих делах как рыба в воде.
«А е1е’ знаешь, — добавила Наташа, — Ковалевская дружила с английской писательницей Джордж Эллиот. Ты, Ника, ничего не читал из ее сочинений. У нее есть очень хорошая книга — «Мельница во Флоссе». Есть и русский перевод. Это повесть о ее детстве. Так хорошо написана, просто читаешь — и сердце радуется! И, понимаешь, Ковалевская, такая горячая и сердечная, должна была
любить писателя, который написал такую хорошую книгу о детстве Вот как.
— Да. Повесть хорошая. — ответил дедушка. — Ну, а я от себя лично предлагаю — продолжать нашу одночеркальную. как выражается Никита, или это ты, Лёва, придумал. конференцию.
— Принято! — ответила Веточка.
— Убери ты свою коричневую ногу. — неожиданно раздалось из-под стола. — Вот он, оказывается, где мой карандашик!
И Вовка радостно вылез из-под стола с зелененьким карандашиком в руках.
— Теперь можно начинать! — торжественно заявил он. — Все готово!
— Да уж действительно больше нечего дожидаться. — согласился дед. Ну, Никита, вступай в свои обязанности.
Открываю заседание конференции! — заявил Никита, постучав косточками пальцев по столу. — Прошу товарищей занять места. Мы остановились прошлый раз на рассмотрении вопроса об изъятии путей из данной системы с целью превращения ее в дерево. Докладчиком по данному вопросу конференция выдвинула доктора Одночеркаль-ных Наук и заслуженного почетного культурника всей Тускарии, де-душку Тимофея Иринарховича! Его слово.
Взрыв дружных рукоплесканий покрыл это витиеватое начало второго заседания Тускарийской конференции.
— Благодарю за оказанное доверие, — отвечал дед в тон Нике. — Приступаю к докладу. А все ли знают, о чем идет речь?
— Мне Наташа все рассказала! — заявила Веточка.
— Начертим для начала какую-нибудь систему путей. Вот тут у нас семнадцать путей и одиннадцать узлов. Если я начну превращать эту систему в дерево, изымая пути, то узлов у меня останется
столько же — я ведь их не трогаю! — а путей, как мы уже заметили раньше, будет на единицу меньше, чем узлов, то есть не одиннадцать, а только десять. Сколько же я всего изъял путей? У меня их было семнадцать, а теперь осталось десять. Следовательно, я изъял семь. Ясно, что, для того чтобы получить число изъятых путей, надо из общего числа путей вычесть число узлов без единицы. Ну, Вовка, ты уж не обижайся, а мы запишем это алгебраически.
Вовка вздохнул, почесал в затылке и сказал:
— Я уж у Лёвки брал алгебру. да там что-то одни буквы — ничего не поймешь!
— Ничего, Вовочка! — сказала Веточка. — Годика через три все разберешь.
— И не через три вовсе, — возразил в негодовании Вовка, — а раньше! Потому что я опять в алгебру полезу. Очень мне интересно три года дожидаться!
— Ишь, какой прыткий, — ответил дед. — Поспешишь, говорят, людей насмешишь. Куда спешить? Кто не торопится — тот счастливый. Так вот, назовем число узлов буквой /г, число путей — буквой ту тогда путей после изъятия у нас останется (п — 1); ясно, что это будут именно те пути, которые уже нельзя изъять без того, чтобы наша система не распалась..
— Значит, дерево имеет наименьшее возможное число путей? — спросила Веточка.
— Конечно, так, — продолжал дед. — Теперь число изъятых путей, очевидно, будет равно [т — ( п — 1)], или (т — п+1). Затем обращаю ваше внимание еще на один любопытный факт. Посмотрите, на сколько отдельных участков делят пути ту часть плоскости, которая ограничена нашей системой линий. У нас на чертеже таких участков, обозначенных римскими цифрами.
— Семь! — поспешил заявить Вовка.
— То есть, — продолжал Тимофей Иринархович, — столько же, сколько.
—. сколько вы изъяли путей, — докончила Наташа.
— Объясни почему! — немедленно придрался Вовка.
— Потому, — отвечала ему девочка, — что, как только мы удаляем из системы один путь, тотчас же и число участков у нас уменьшается на единицу, а когда мы удалим все пути, которые возможно.
— А их будет по указанной формуле (т — я-f 1), — подсказал Ника-председатель.
— Ну конечно! — продолжала Наташа. — И тогда у нас уже не останется ни одного ограниченного участка, как оно для дерева и полагается. Ясно, что число изъятых путей системы для превращения ее в дерево и равно числу участков.
— Точно! — ответил дед. — А вот теперь, когда мы нашли это важное соотношение, я позволю себе предложить нашей нескучной, конференции еще одну прогулку в неизвестные страны, где имеется для любознательных ребят немало превосходных подарков. Всем нам хорошо известно, что такое куб.
— Да просто кубик! — вмешался Вовка. — Вот он!
И Вовка торжественно вытащил из кармана самый обыкновенный детский кубик с буквами из раздвижной азбуки.
Вот и хорошо, что куб сам к нам явился! — заявил дед, взяв Вовкин кубик в руки. — Куб есть выпуклое тело. Его можно положить на плоскость, то есть на стол — на одну из его граней или сторон, — и весь он при этом, целиком, лежит над этой своей гранью, которая вплотную прилегает к столу. Если бы он не был выпуклым, то легко сообразить, что этого не случилось бы: невыпуклое тело, кроме отдельных случаев, так лечь на плоскость не может. Кроме того, это правильное тело в том смысле, что каждая его сторона — правильный многоугольник, то есть равносторонний четырехугольник, или квадрат. Значит, квадраты — стороны куба, или его грани; скрещиваются грани на ребрах куба, а ребра, в свою очередь, пересекаются в его вершинах. Пересчитаем, сколько у куба их всего. Ну-ка, Вовка!
— Сейчас, — торопливо отвечал Вовка, — сию минуту! Сейчас скажу. А ты не смей меня, Лёвка, перебивать. Диду, подожди, я
сейчас скажу. Значит, так: вершин у куба восемь! Теперь. ребер у него двенадцать, а граней. ну, это известно. граней шесть. Все! Дедушка, видишь, я все сказал!
— Все верно! Молодчина. — ответил дед. — А теперь еще вопрос. Все ли знают, как решается одна очень славная старинная задачка? Вот какая: из шести спичек сделать четыре треугольника. Разумеется, треугольники равносторонние, сторона равняется спичке.
— Кажется, я припоминаю, — сказал Лёва.
— А я не знаю! — жалобно пропищал Вовка.
— Сейчас узнаешь. — И дед осторожно вытащил из кармана блузы склеенную из спичек фигурку.
— Ах, — сказала Наташа, — так это пирамида! Да, правда, спичек шесть, а треугольников. четыре. Хорошо!
— Это, — объяснил дед, — тоже правильный выпуклый многогранник. Он называется тетраэдр, от греческого слова tetra, что в переводе означает «четыре», ибо у него, как вы уже заметили, четыре грани. Ребер столько.
—. сколько спичек! — обрадовался Вовка. — Шесть!
— Так. А вершин сколько?
— Вершин? — переспросил Вовка. — Три внизу, одна наверху, всего четыре.
— Теперь возьмем третье правильное тело. Их всего только пять, и все они были известны еще древнегреческим геометрам. Это третье правильное тело тоже составлено из треугольников. Только на этот раз их не три, а больше. Здесь из двенадцати спичек можно сделать восемь треугольников. Зовут его октаэдр, от греческого слова okto, которое значит «восемь». А вот и он!
И столь же осторожно дедушка извлек из другого кармана блузы склеенный из спичек октаэдр.
— У нас, — продолжал он, — теперь есть три правильных многогранника. Имеется еще два. Те похитрее, и о них мы поговорим попозже. Рассмотрим октаэдр. Сколько у него вершин, ребер и граней, Вовушка?
— Вершин, диду, шесть; ребер, значит, — сколько спичек, то есть двенадцать, а граней — восемь.
— Запишу, — сказал дед. — Вот здесь, на этом листе бумаги, большими буквами красным карандашом, чтобы все видели эти цифры. Смотрите внимательно: буквы «В», «Р» и «Г» обозначают «вершины, ребра, грани». Вот что получается:
Тетраэдр.. 4 6 4
Октаэдр. 6 12 8
Куб 8 12 6
— Замечаете ли вы, что из этих трех чисел в каждой строчке то, которое стоит в середине, меньше суммы двух крайних? Верно?
— Верно, верно! — раздались голоса.
— А на сколько меньше?
— Дедушка, я знаю! — закричал Вовка. — Диду, не говори, я сам скажу! Вот я уж говорю, подожди. дедушка! Меньше ровно. на.
Тут на лице внезапно умолкнувшего Вовки появилось какое-то странное полуиспуганное выражение, и совсем уж другим голосом, очень робко он вымолвил:
— Кажется, на два.
— Молодец! — воскликнул дед. — Правильно, совершенно верно! Так и есть! Это и составляет содержание замечательной теоремы великого математика русского академика Леонарда Эйлера (он жил в восемнадцатом веке), которая гласит: сумма вершин и граней правильного многоугольника больше числа его ребер на две единицы. А. при чем же тут наши одночеркальные фигурки, вы спросите? При том, что мы сейчас с вами не только покажем, но и докажем эту удивительную теорему с помощью того, что мы только что с вами вывели относительно наших фигурок, числа путей и числа участков, на которые эти пути разбивают часть плоскости, ограниченную нашей системой.
Вовка, совершенно истомленный решением той ужасно трудной задачи, которая только что выпала на его долю, сидел с безучастным и даже немного сонным выражением лица. Он так старался, что совершенно обессилел. Сполз со стула и громко прошептал деду на ухо:
— Пойду посмотрю, что там Тереха делает. — и исчез.
Участники конференции улыбнулись, переглянулись, но ни у кого не хватило духа сказать что-нибудь Вовке, так как все понимали, как ему было трудно и чего ему стоило не ударить в грязь лицом при таких затруднительных обстоятельствах.
— Итак, — продолжал дед, — я беру тот же самый куб. Теперь я должен мысленно проделать над нашим кубом некоторые операции. Прошу внимания. Возьмем и удалим у нашего куба одну из сторон или граней — например, сторону abed. Мой куб после этого превратится в открытую коробку, открытую именно с этой стороны abed. Теперь вообразим, что стороны нашего куба сделаны из гибкой резины. Она очень крепкая, не рвется, и ее можно растягивать как угодно. Тогда я ставлю мою резиновую открытую кубическую коробку на плоскость — и она будет стоять на стороне efgh, которая совпадает с этой плоскостью, а остальные четыре стенки коробки я растягиваю так, чтобы они совпали с той же плоскостью, и закрепляю их на ней. Вот чертеж и показывает, что у меня после этого получится. Смотрите-ка хорошенько! У нас получилась система линий, которую мы можем рассматривать, как.
—. систему путей! — подсказал Лёва.
— Верно, Лёвушка! Вот именно так мы и поступим. Ну-ка, попробуй нам рассказать, что из этого получится.
— Получится вот что, — начал Лёва. — Ребра куба теперь превратились в пути, число узлов системы равно числу вершин куба, а число отграниченных путями участков плоскости равно числу граней без одной, потому что одну сторону куба мы удалили. Теперь я попробую все это изложить на буквах. Число вершин В равно нашему прежнему /г, которое есть число узлов; число путей т равно Я, кото рое есть число ребер нашего многогранника, а число ограниченных путями участков плоскости (т — n-f-l) равно числу граней, но без одной, удаленной, то есть Г — 1.
Так, — сказал дедушка, — верно. Теперь переходим к теореме Эйлера.
— Мне надо, — сказал Лёва, — взять число вершин, вычесть из него число ребер и прибавить число граней без единицы: (. )
что и требовалось доказать. Теперь, по-моему, теорема наша доказана.
— Ну вот, — сказал дедушка, — вот видите, с какой интереснейшей теоремой мы с вами познакомились по дороге к нашим лабиринтам.

Источник