С помощью рисунка определите чему равно отношение площадей sd1d2d3d4 so1d2o2d4

Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

Заключение

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра​.

Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.

Видео

Разобраться в этой теме вам поможет видео.

Источник

С помощью рисунка определите чему равно отношение площадей sd1d2d3d4 so1d2o2d4

Дан фрагмент электронной таблицы:

Какая из формул, приведённых ниже, может быть записана в ячейке В2, чтобы построенная после выполнения вычислений диаграмма по значениям диапазона ячеек A2:D2 соответствовала рисунку?

Из диаграммы видно, что значения в ячейках попарно равны. Заметим, что A2 = C2, следовательно, В2 = D2 = 4.

Найденному значению В2 соответствует формула, указанная под номером 1.

Дан фрагмент электронной таблицы:

Какая из формул, приведённых ниже, может быть записана в ячейке C2, чтобы построенная после выполнения вычислений диаграмма по значениям диапазона ячеек A2:D2 соответствовала рисунку?

Из диаграммы видно, что значения в ячейках попарно равны, A2 = D2, следовательно, B2 = C2 = 4.

Найденному значению C2 соответствует формула, указанная под номером 4.

Дан фрагмент электронной таблицы:

Какая из формул, приведённых ниже, может быть записана в ячейке А2, чтобы построенная после выполнения вычислений диаграмма по значениям диапазона ячеек A2:D2 соответствовала рисунку?

Из диаграммы видно, что значения в трёх ячейках равны. Следовательно, A2 = C2 = 3.

Найденному значению A2 соответствует формула, указанная под номером 2.

Дан фрагмент электронной таблицы:

Какая из формул, приведённых ниже, может быть записана в ячейке B2, чтобы построенная после выполнения вычислений диаграмма по значениям диапазона ячеек A2:D2 соответствовала рисунку?

Из диаграммы видно, что значения в двух ячейках равны и эти значения меньше двух других, следовательно, B2 = A2 = 4.

Найденному значению B2 соответствует формула, указанная под номером 1.

А2 будет равно 2, поскольку D1=5;5-2+1=2;значит и неизвестная часть будет равна 2

Не забывайте про приоритет выполнения операций. Операции с одинаковым приоритетом выполняются последовательно. А у сложения и вычитания одинаковый приоритет.

Дан фрагмент электронной таблицы:

Какая из формул, приведённых ниже, может быть записана в ячейке А2, чтобы построенная после выполнения вычислений диаграмма по значениям диапазона ячеек A2:D2 соответствовала рисунку?

Из диаграммы видно, что значения в ячейках попарно равны, B2 = D2, следовательно, A2 = C2 = 2.

Найденному значению A2 соответствует формула, указанная под номером 3.

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)

Источник

Решебник по математике «Тренировочный вариант 3 ОГЭ по математике по демоверсии 2021 года с решением»

№ 1 Условие задания: 1 Б.

Установи соответствие между форматами листов и их размерами:

Самый большой размер у формата В0, ширина этого формата является длиной формата В1, ширина которого в свою очередь является длиной формата В2 и т.д. Значит, чем больше номер формата, тем меньше его размеры :

В России сегодня используется стандарт бумажного листа ISO 216. Всего в этом

стандарте есть три серии — A, B, C. Наиболее известный в России формат серии A, который используется для документов и чертежей. О существовании серии B мало кто знает, она используется в полиграфии для печати, например, книг и открыток. Серия C используется, например, для изготовления конвертов к форматам серии A. Все три стандарта основываются на делении листа на части, отчего все форматы стандарта оказываются подобными фигурами. Это предназначено для удобного масштабирования от формата к формату без потери полей и пропорций.

Рис. 1. Серия ISO 216 A

Представлена таблица, в которой даны размеры четырѐх листов в миллиметрах — B1, B3, B5, B7. Установи соответствие между форматами листов и их размерами:

№ 2 Условие задания: 1 Б.

Определи, сколько листов формата B5 можно сделать из листа формата B3.

РЕШЕНИЕ: Из листа формата В3 получается два листа формата В4, а из листа формата В4 получается два листа

формата В5. Т.о, из формата В3 получается 4 листа формата

№ 3 Условие задания: 1 Б.

найди площадь листа формата B2 и вырази еѐ в квадратных сантиметрах. В поле для ответа запиши только число, без единиц измерения, ответ округли до сотых.

№ 4 Условие задания: 1 Б.

В России сегодня используется стандарт бумажного листа ISO 216. Всего в этом стандарте есть три серии — A, B, C. Наиболее известный в России — формат серии A, который используется для документов и чертежей. О существовании серии B мало кто знает, она используется в полиграфии для печати, например, книг и открыток. Серия C используется, например, для изготовления конвертов к форматам серии A. Все три стандарта основываются на делении листа на части, отчего все форматы стандарта оказываются подобными фигурами. Это предназначено для удобного масштабирования от формата к формату без потери полей и пропорций.

Номер Размер, мм, длина × ширина

В таблице даны размеры четырѐх листов в

Рис. 1. миллиметрах, первое число — длина, второе

— ширина. Установи, пользуясь таблицей, ширину листа бумаги

Ответ: 300 формата A3 и округли ответ до ближайшего целого, кратного 10. В поле для ответа запиши только число, без единиц измерения.

Чтобы найти ширину листа заданного формата, нужно сначала установить, в какой строке расположены его размеры.

Номер Размер, мм, длина × ширина Формат

Видим, что лист формата A3 имеет размер 420×297. Первое число — длина, второе — ширина. Значит, нужное нам число — 297 мм. Теперь надо выполнить второе условие, округлить до ближайшего целого, кратного 10. Это значит, что число должно оканчиваться на 0 единиц. Ближайшее — может быть и слева, и справа. Используем правило округления до десятков. 297≈300.

Правильный ответ: 300.

№ 5 Условие задания: 1 Б.

Для каждого вида упаковки бумаги определим цену за 1000 листов: для этого цену за упаковку нужно умножить на столько, сколько раз указанное количество листов входит в тысячу.

Цена за 1000 листов первого вида равна: 162 (1000:250)=648 руб.

Цена за 1000 листов второго вида равна: 157 (1000:200)=785 руб.

Цена за 1000 листов третьего вида равна: 183 (1000:250)=732 руб.

Цена за 1000 листов четвѐртого вида равна: 216 (1000:100)=2160 руб.

Сравнивая значения, получим, что наибольшая цена за 1000 листов: 2160 рублей.

Правильный ответ: 2160 руб.

В магазине продаѐтся бумага в различных упаковках и по различной цене. В

таблице показано количество листов в каждой упаковке и еѐ цена. В какой упаковке бумага стоит дороже?

Какова наибольшая стоимость 1000 листов? (Впиши только значение без единицы измерения.)

№ 6 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: При решении данного задания будем пользоваться следующими свойствами степеней:

+ переместительное и сочетательное свойства умножения:

137  29  10   3973  10  3973  1  3973

Правильный ответ: 3973

№ 7 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Представим дроби 2/25 и 2/13 в виде десятичных с округлением до трѐх знаков после запятой.

Сравнивая, получим, что между данными числами лежит 0,09. Это 3 вариант.

Правильный ответ: 3.

Какое из следующих чисел заключено между числами и ? В ответе укажи

номер правильного варианта. 1) 0,16; 2) 0,25; 3) 0,09; 4) 0,07.

№ 8 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Преобразуем выражение. a  

Подставим a=−4, y=52 и найдѐм значение выражения.

a      78 a a  4

Правильный ответ: −78.

Найди значение выражения a  при a = −4 и y = 52. a

№ 9 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Перед нами произведение двух выражений. Оно может быть равно нулю в случае, когда либо первый, либо второй множитель равен нулю. Получим два простейших линейных уравнения и решим их.

Сравним корни. 6 здесь — наибольший.

Правильный ответ: 6

еши уравнение и в ответе запиши его наибольший корень.

№ 10 Условие задания: 1 Б.

Частота попаданий первого спортсмена:  0,74

Частота попаданий третьего спортсмена:  0,44.

Частота попаданий четвѐртого спортсмена:  0,62

50 Сравнивая частоту попаданий, получим, что наибольшая —

Правильный ответ: 0,74

В таблице представлены результаты тренировки спортсменов.

На соревнования поедет тот, кто показывает лучшие результаты. Какова частота

удачных выступлений у спортсмена, который поедет на соревнования?

№ 11 Условие задания: 1 Б.

Поскольку гипербола, изображѐнная на рисунке, расположена в 1 и 3 четвертях, то из всех вариантов подходят вариант 1 и вариант 4. Поскольку график данной функции проходит через точку с координатами (1; 4), то ответом будет вариант 1.

y  x

4  ; 4  4

Для остальных функций координаты не обращают формулу в верное равенство

Правильный ответ: 1.

Установи соответствие графика функции, который изображѐн в прямоугольной

системе координат, и формулы. Запиши номер варианта.

1) y  ; x

2) y   ;

3) y   ;

4) y  .

№ 15 Условие задания: 1 Б.

Сумма углов треугольника 180°. Внешний угол треугольника BCD равен сумме двух других углов, не смежных с ним

∠ BCD= ∠ A+ ∠ B=11°.

Правильный ответ: 11.

Дан треугольник ABC, в котором известно, что ∠ A+ ∠ B=11°. Найди внешний

угол этого треугольника, расположенный при вершине C, ответ дай в градусах.

№ 16 Условие задания: 1 Б.

Для того чтобы решить эту задачу, удобно для наглядности соединить все точки отрезками. Тогда легко будет вспомнить, что треугольник AOC равнобедренный, поскольку его сторонами являются радиусы, угол ADC вписанный, а угол AOC — центральный, и он в 2 раза больше угла ADC.

∠ ADC=0,5 ∠ AOC=0,5 ⋅ 82=41°.

Правильный ответ: 41.

Три точки лежат на окружности с центром O. Найди ∠ ADC, если ∠ AOC=82°.

Ответ дай в градусах.

Рис. 1. Окружность и точки

№ 17 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Для нахождения площади квадрата можно воспользоваться формулой нахождения площади ромба.

Так как диагонали квадрата равны, то получим следующую d 2

формулу: S 

Подставим значение диагонали и найдѐм площадь.

S    3960,5.

Правильный ответ: 3960,5.

Диагональ квадрата равна 89. Чему равна площадь квадрата?

№ 18 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Сначала подсчитаем количество клеток, которые занимает наша фигура. На данном рисунке это 8 клеток.

Площадь одной клетки нужно найти, для чего нужно размер стороны возвести в квадрат. S  a 2  0,3 2  0,09 Теперь можно найти площадь всей фигуры, умножив количество клеток на площадь одной.

Правильный ответ: 0,72.

На разлинованной в клетку бумаге изображена фигура.

Рис. 1. Фигура Сторона клетки — 0,3.

Найди площадь этой фигуры и запиши в ответе число без единиц измерения.

№ 19 Условие задания: 1 Б.

1. Окружность является совокупностью точек,

равноудалѐнных друг от друга. Неверно. 2. Градусной мерой дуги окружности является градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу. Верно.

3. Любой вписанный в окружность треугольник, две вершины которого принадлежат диаметру, прямоугольный. Верно.

4. Треугольники, сторонами которых являются отрезки

пересекающихся хорд, подобны. Верно. Истинность высказываний устанавливается при помощи соответствующего раздела учебника по геометрии. Здесь рассматривается часть, посвящѐнная треугольникам и четырѐхугольникам.

Правильный ответ: 1

Выбери номер(-а) высказываний, которые неверны. Запиши в порядке

возрастания, если их несколько, без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1. Окружность является свокупностью точек, равноудалѐнных друг от друга. 2. Градусной мерой дуги окружности является градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу.

3. Любой вписанный в окружность треугольник, две вершины которого принадлежат диаметру, прямоугольный.

4. Треугольники, сторонами которых являются отрезки пересекающихся хорд, подобны.

№ 20 Условие задания: 2 Б.

Правильный ответ: −8; 6.

1. Для решения данного уравнения будем использовать формулу разности квадратов: a 2  b 2  =(a−b) (a+b) — и теорему Виета: «Сумма корней приведѐнного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену».

№ 21 Условие задания: 2 Б.

Здесь нужно рассматривать объѐм запланированной работы и производительность – скорость выполнения работы. Поскольку никаких численных указаний на него нет, возьмѐм его как единицу, 1. Рассмотрим ситуацию и обозначим производительность буквами v с соответствующим номеру индексом.

Очевидно, что в первом случае, для того чтобы получить выполненную работу, нужно умножить на 11 скорость работы каждого и сложить всѐ это.

Во втором описанном случае видно, что каждую скорость нужно умножить на указанное количество часов, и мы получим ту же единицу.

Описывая третий случай при помощи уравнения, мы можем заключить, что для получения единицы нужно взять скорость работы второго за x и точно так же сложить произведения времени на скорость для всех трѐх. Мы получим систему из трѐх уравнений.

Причѐм если сложить первые два, в которых известно время работы для всех трѐх, мы получим двойной объѐм работы. Значит, результат этого сложения нужно разделить пополам:

Таким образом мы получим уравнение, равное по значению третьему. Можно их уравнять и решить получившееся уравнение.

Правильный ответ: 13,5 ч.

Три экскаватора с навесным ковшом роют яму под систему водоотведения.

Трактора имеют разные годы выпуска и разных водителей, поэтому их производительности различаются. Они смогут выполнить работу, если будут трудиться вместе 11 ч подряд. Кроме того, для выполнения этого же объѐма работы можно разделить еѐ по времени так: первый будет работать 9 ч, второй 16 и третий — 8 ч. Сколько времени нужно проработать второму, если до него уже успели потрудиться первый (9,5 ч) и третий (10 ч)? Ответ дай в часах.

№ 23 Условие задания: 2 Б.

Если посмотреть на формулу, на первый взгляд может показаться, что графиком функции будет парабола — по причине наличия переменной во второй степени. Однако имеется ещѐ и переменная в знаменателе алгебраической дроби. Проведѐм тождественные преобразования. Кроме того, будет выколотая точка. Установим еѐ координату на оси абсцисс, приравняв знаменатель к нулю. Затем подставим в преобразованное выражение и получим координату по оси ординат.

y  4 _  1 ; x  0; x  1; y  4 _ x  1 ;y  4 _ 1

Теперь понятно, что графиком этой функции будет гипербола. A(1;3).

Построить схематично график этой функции можно при помощи параллельного переноса и поворота, применѐнного к базовому графику. Асимптотами гиперболы будут оси координатной плоскости, поскольку и значения, и область определения еѐ бесконечно стремятся к нулю, но никогда его не достигают. Минус перед дробью отразит график симметрично оси ординат. Свободный коэффициент 4 сдвинет график на 4 вверх. (Рисунок 1) 1 Здесь пунктиром показана базовая гипербола y  , x

оранжевая гипербола — результат отражения относительно оси ординат. Базовая гипербола никогда не пересечѐт горизонтальную линию, совпадающую с осью абсцисс. Значит, y=4.

Правильный ответ: (Рис. 1) и ответ y=4.

Найди значения параметра, при которых прямая y=b не имеет общих точек с

РИС.1

№ 23 Условие задания: 2 Б.

Дано: ABCD трапеция; AB=CD; P_ABCD  140 ; BC=20; AD=52.

Решение: Для решения данной задачи будем использовать формулу площади трапеции: S   b  h.

P=AB+CD+BC+AD=2 ⋅ AB+BC+AD (поскольку периметр — это сумма длин всех сторон, и трапеция равнобедренная). Подставим в данное выражение значения периметра и сторон: 140=72+2 ⋅ AB, AB= 34.

Так как трапеция равнобедренная, _то AH _  BC _ 52  20 _ 16.

Найдѐм BH. По теореме Пифагора имеем:

Так как узнали все компоненты, то найдѐм площадь:

Правильный ответ: 1080.

Известно, что периметр равнобедренной трапеции с

основаниями 20 и 52 равен 140. Определи площадь данной трапеции.

№ 24 Условие задания: 2 Б.

Дан четырѐхугольник PMNO, который можно вписать в окружность.

Если четырѐхугольник можно вписать в окружность, значит, суммы его противоположных углов равны по 180°.Значит ∠ M=180− ∠ PON. ∠ PON=180− ∠ POR.

∠ A=180−(180− ∠ POR)= ∠ POR. Угол R — общий.

Отсюда треугольники подобны по двум парам равных углов, что и требовалось доказать.

Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точке R. Докажи, что треугольники RMN и ROP подобны.

№ 25 Условие задания: 2 Б.

Дано: ΔABC; B=90°; BAL= CAL; AL∩OL=K; ACB=50°. Найти: BCK. Решение

1) Построим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, проведѐм биссектрису угла A

( ABC=90°; BAL= LAC, так как AL — биссектриса).

2) Сделаем дополнительное построение: проведѐм окружность, описанную около треугольника ABC. Тогда получим, что биссектриса пересекает окружность в точке L.

Соединим точки, получим треугольник BCL. Так как BAL= CAL, а AL — биссектриса, то дуга BL равна дуге LC. А раз дуги равны, то хорды, стягивающие эти дуги, также будут равны, отсюда следует, что треугольник BLC — равнобедренный.

3) Проведѐм высоту из вершины L к основанию BC. Так как LN — это высота, опущенная из вершины

равнобедренного треугольника к основанию, то она также является биссектрисой и медианой, тогда BN=BC. Отсюда следует, что LN — серединный перпендикуляр. Это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к BC и биссектрисой.

4) BCK= BAK (точка L есть точка K) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а BAK=1/2 BAC.

BAC=90°− ACB (так как сумма острых углов треугольника равна 90°) BAC=90°−50°; BAC=40°.

Значит, угол BCK равен 20°.

Правильный ответ: 20°.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена биссектри-

са угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведѐнный к стороне BC в точке K. Найди угол BCK, если известно, что угол ACB равен 50°.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник